欧拉函数 :欧拉函数是数论中很重要的一个函数,欧拉函数是指:对于一个正整数 n ,小于 n 且和 n 互质的正整数(包括 1)的个数,记作 φ(n) . 完全余数集合:定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ,称呼这个集合为 n 的完全余数集合. 显然 |Zn| ＝φ(n) . 有关性质:对于素数 p ,φ(p) = p -1 .对于两个不同素数 p, q ,它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1)  .这是因为 Zn = {1, 2, 3,

欧拉函数总结+证明 欧拉函数总结2 POJ 1284 原根 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; int Euler(int n) { int res=n; ;i*i<=n;i++) { ) { n/=i; res-=(res/i); ) n/=i; } }

随笔 - 20  文章 - 0  评论 - 73 ACM数论之旅7---欧拉函数的证明及代码实现(我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭) https://blog.csdn.net/chen_ze_hua/article/details/53997790 https://blog.csdn.net/qq_40828914/article/details/81775519 欧拉函数,用φ(n)表示 欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目 辣么,怎么求哩?~(-o￣▽￣)-o 可以先在1到n-1

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y)=p ---> gcd(x/p,y/p)=1 每个质数做一遍行了 答案是欧拉函数的前缀和*2

http://poj.org/problem?id=2478 题意:给定一个数x,求<=x的数的欧拉函数值的和.(x<=10^6) 题解:数据范围比较大,像poj1248一样的做法是不可行的了. 首先我们要了解欧拉函数的几个性质和推论:(今天跟好基友Konjak魔芋讨论了好久..) 推论(一): phi(p^k)=(p-1)*p^(k-1) 证明: 令n=p^k,小于等于n的正整数数中,所有p的倍数共有p^k /p = p^(k-1)个. 1~n出去p的倍数,所以phi(n)= n -  p^

中国剩余定理 ——!x^n+y^n=z^n 想必大家都听过同余方程这种玩意,但是可能对于中国剩余定理有诸多不解,作为一个MOer&OIer,在此具体说明. 对于同余方程: x≡c1(mod m1) x≡c2(mod m2) ··· x≡cn (mod mn) [其中任意的两个mi,mj互质] 我们可以构造出一个解: 令m=Πai[0<i<=n],Mi*mi=m. 那我们可以得到一组解: x=ΣMi*Mi-1(mod m) 接下来我们想办法证明她是唯一的: Mi*Mi-1≡1(mod m

找了一些曾经没提到的算法.这应该是数学基础系最后一篇. 曾经的文章: 数学基础I 莫比乌斯反演I 莫比乌斯反演II 数学基础II 生成函数 数学基础III 博弈论 容斥原理(hidden) 线性基(hidden) 卡特兰数/第二类斯特林数(hidden) 置换群(hidden) 莫比乌斯反演III(hidden) 线性筛(hidden) 欧拉函数 计算单个欧拉函数 设\(n\)的唯一分解为\(p_i\),则\(\varphi(n)=n\prod(1-\frac{1}{p_i})\). 奇偶性 \

转载自:http://www.cnblogs.com/candy99/p/6200660.html 2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y

前两天总结了素数筛法,其中就有Eular筛法.现在他又来了→→ φ(n),一般被称为欧拉函数.其定义为:小于n的正整数中与n互质的数的个数. 毕竟是伟大的数学家,所以以他名字命名的东西很多辣. 对于φ(n),我们有这样[三个性质]: (1) [若n为素数],则φ(n) = n - 1 显然,由于n为素数,1~n-1与n都只有公因子1,因此φ(n) = n - 1. 比如φ(11)=10={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; (2) [若n = p^k],p为素数(即n为单个素数的整数幂

点此看题面 大致题意: 多组询问,求\(\sum_{i=L}^R\sum_{j=i+1}^Rgcd(i,j)\). 推式子 这道题我们可以考虑,每个因数\(d\)被统计答案的次数,肯定与其出现次数有关. 设它出现次数为\(cnt_d\),则可以猜测答案为: \[\sum_{d=1}^nd\cdot C_{cnt_d}^2\] 这显然是错的,因为\(d\)虽作为公因数,却不一定是最大公约数. 所以就可以考虑容斥. 对于一个统计过的数\(x\),按照我们先前的做法,对于任意\(d|x\),\(d\)

定义和简单性质 欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的. 欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数. 对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1). 欧拉函数的一些性质: 1.对于素数p, φ(p)=p-1,对于对两个素数p,q φ(pq)=pq-1 欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数. 2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn. φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/

从费马小定理到欧拉定理 欧拉公式 再到欧拉函数.,. 小结一下欧拉函数吧 对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目(φ(1)=1)----定义 欧拉函数的基本公式其中pi为x的素因子 .公式的推导根据欧拉公式(积性函数的性质)+算术基本定理+phi(p^k)=p^k-p^(k-1)(p为素数) 简单应用 1.hdu 2588 题意:给定N,M求gcd(i,N)>=M的i的个数(1<=i<=N,M<=N) 题解 :  对于每个i因为i<=N 所以g=gcd(N,

一.基本概述在数论,对正整数n,欧拉函数varphi(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等. 二.计算公式 三.基本性质欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数. 对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1). 欧拉函数的一些性质: 1.对于素数p, φ(p)=p-1,对于对两个素数p,q φ(pq)=pq-1 欧拉函数是积性函数,但不是完全积性

前言 初等数论在OI中应用的基础部分,同机房的AuSquare和zhou2003君早就写完了,一直划水偷懒的Hk-pls表示很方,这才开始了这篇博客. \(P.S.\)可能会分部分发表. Base-1 筛法求素数 埃式筛素数 问题:求\([1,n]\)中的所有素数 总体思路就是在\([2,n]\)中每当我们找到一个新的素数,在把它加入我们的素数队列的同时我们把它的倍数全部打上标记(包括它自己),下一个没有被标记的数就是新的素数. void find_prime(int n){ memset(us

GCD 题意:输入N,M(2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), 设1<=X<=N,求使gcd(X,N)>=M的X的个数.  (文末有题) 知识点:   欧拉函数.http://www.cnblogs.com/shentr/p/5317442.html 题解一: 当M==1时,显然答案为N. 当M!=1.  X是N的因子的倍数是 gcd(X,N)>1 && X<=N 的充要条件.so  先把N素因子分解, N=     

题目:http://cogs.pw/cogs/problem/problem.php?pid=2533 这道题考察打表观察规律. 发现对f的定义实际是递归式的 f(n,k) = f(0,f(n-1,k)) f(0,k) = balabalabalabala 所以,实际上的f(n,k)是这么个东西 f(0,(0,(0,(0,(0,(0,(0,(0,k)))))))) 直接递归求解并打出表来,我们可以发现这样的事实 f(0,k) = k+1 所以有f(n,k) = n + k + 1; 所以题目就转

通式: $\phi(x)=x(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3}) \cdots (1-\frac{1}{p_n})$ 若n是质数p的k次幂:$\phi(n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质. 设n为正整数,以$\phi(n)$表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数. 欧拉函数是积性函数——若m,n互质, $\p

这题满满的黑科技orz 题意:给出L,要求求出最小的全部由8组成的数(eg: 8,88,888,8888,88888,.......),且这个数是L的倍数 sol:全部由8组成的数可以这样表示:((10^x)-1)*(8/9) 那么有m=((10^x)-1)*(8/9)=k*L,answer即满足条件的最小的x 性质1:若ax=by且a和b互质,那么说明a中没有任何b的质因子,b的质因子一定都在x里.所以x是b的倍数. 所以先想方设法在等式中构造两个互质的数以便化简.我们取p=8/gcd(8,L

Reflect Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 288    Accepted Submission(s): 174 Problem Description We send a light from one point on a mirror material circle,it reflects N times and

Relatives Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 11372   Accepted: 5544 Description Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime if ther