数学中最优化问题的一般表述是求取,使,其中是n维向量,是的可行域,是上的实值函数.凸优化问题是指是闭合的凸集且是上的凸函数的最优化问题,这两个条件任一不满足则该问题即为非凸的最优化问题. 其中,是 凸集是指对集合中的任意两点,有,即任意两点的连线段都在集合内,直观上就是集合不会像下图那样有“凹下去”的部分.至于闭合的凸集,则涉及到闭集的定义,而闭集的定义又基于开集,比较抽象,不赘述,这里可以简单地认为闭合的凸集是指包含有所有边界点的凸集. 注意:中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定

姚班天才少年鬲融凭非凸优化研究成果获得斯隆研究奖 近日,美国艾尔弗·斯隆基金会(The Alfred P. Sloan Foundation)公布了2019年斯隆研究奖(Sloan Research Fellowships)获奖名单,华裔学者鬲融获此殊荣. 鬲融 2004 年从河北省保送至清华大学计算机系,是首届清华姚班毕业生,普林斯顿大学计算机科学系博士,曾在微软研究院新英格兰分部做博士后,2015年至今在杜克大学担任助理教授. 斯隆研究奖自1955年设立,每年颁发一次,旨在向物理学.化学和数

转载知乎大神的回答:Robin Shen   参考:https://www.zhihu.com/question/20343349

首先定义凸集,如果x,y属于某个集合M,并且所有的θx+(1-θ)f(y)也属于M,那么M为一个凸集.如果函数f的定义域是凸集,并且满足 f(θx+(1-θ)y)≤θf(x)+(1-θ)f(y) 则该函数为凸函数. 如果函数存在二阶导并且为正,或者多元函数的Hessian矩阵半正定则均为凸函数. 「注意」:中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的.Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数.Concave Function指凸函数.但在中国大陆涉及经济学的

一些在线预测问题可以转化到在线凸优化框架中.下面介绍两种凸化技术: 一些在线预测问题似乎不适合在线凸优化框架.例如,在线分类问题中,预测域(predictions domain)或损失函数不是凸的.我们描述了两种凸化技术,它们允许我们在其他场景中使用在线凸优化框架. 1.Convexification by Randomization 为了演示randomization技术,我们考虑一个专家建议的预测问题:每个在线回合中,学习者必须从d位给定专家的建议中进行选择. 表示选到的专家,然后学习机收到

没有系统学过数学优化,但是机器学习中又常用到这些工具和技巧,机器学习中最常见的优化当属凸优化了,这些可以参考Ng的教学资料:http://cs229.stanford.edu/section/cs229-cvxopt.pdf,从中我们可以大致了解到一些凸优化的概念,比如凸集,凸函数,凸优化问题,线性规划,二次规划,二次约束二次规划,半正定规划等,从而对凸优化问题有个初步的认识.以下是几个重要相关概念的笔记. 凸集的定义为: 其几何意义表示为:如果集合C中任意2个元素连线上的点也在集合C中,则C为

目录 题意: 输入格式 输出格式 思路: DP凸优化的部分 单调队列转移的部分 坑点 代码 题意: 有n条超级大佬贞鱼站成一行,现在你需要使用恰好k辆车把它们全都运走.要求每辆车上的贞鱼在序列中都是连续的.每辆车上的贞鱼会产生互相怨恨的值,设a与b之间的怨恨值为G(a,b),一辆车上的贞鱼的编号从L到R,那么这辆车上的怨恨值为\(\sum_{L<=a,b<=R}G(a,b)\).注意G(a,b)=G(b,a),一对贞鱼之间的怨恨值只算一次,也就是G(a,b)和G(b,a)只算一次. 1<

http://www.cnblogs.com/murongxixi/p/3598645.html 在前两节里已经涉及到集合的相对内部与闭包的概念,这一节我们深入研究它们的性质和计算,之后介绍凸函数的连续性以及函数闭包的概念. 设凸集\(C\)是\(\mathbb{R}^n\)的非空子集,由命题1.1.2(4)知,其闭包\(cl(C)\)是非空凸集,其内部\(int(C)\)也是凸集,但是可能是空的(\(\mathbb{R}^3\)中的集合\(S=\{ \boldsymbol{x} \in \ma

近年来,许多有效的在线学习算法的设计受到凸优化工具的影响. 此外,据观察,大多数先前提出的有效算法可以基于以下优雅模型联合分析: 凸集的定义: 一个向量 的Regret定义为: 如前所述,算法相对于竞争向量的集合U的Regret被定义为: 备注: 在线凸优化问题中,学习机的预测应该来自集合S,而我们分析关于集合U的Regret.当我们不指定U时,我们默认U=S.另外,S的默认设置将是. 未完,待续...... 接下来,我们从凸化技术开始,展示了如何在非凸问题中利用在线凸优化框架.然后,我们开始描

本博客已经迁往http://www.kemaswill.com/, 博客园这边也会继续更新, 欢迎关注~ 在机器学习中, 很多情况下我们都需要求得一个 问题的全局最优值(global optimum). 大多数的全局最优值很难求得, 但是对于凸问题, 我们可以比较高效的找到其全局最优值, 这是由凸问题的性质决定的.我们将逐步的介绍凸集, 凸函数, 凸问题等. 1. 凸集(convex set) 对于一个集合\(C\), 如果对于任意两个元素\(x,y \in C\), 以及任意实数\(\thet

目录 凸集的基本概念 凸函数的基本概念 凸优化的一般提法 凸集基本概念 思考两个不能式 两个正数的算术平均数大于等于几何平均数 给定可逆对称阵Q,对于任意向量x,y,有: 思考凸集和凸函数 在机器学习中,我们把形如 这样的图形的都称为凸函数. \(y=x^2\)是凸函数,函数图像上位于\(y=x^2\)的区域构成凸集. 凸函数图像的上方区域,一定是凸集: 一个函数图像的上方区域为凸集,则该函数是凸函数. 直线的向量表达 已知二维平面上的两定点A(5,1),B(2,3)尝试给出经过带你AB的直线方

CMU凸优化笔记--凸集和凸函数 结束了一段时间的学习任务,于是打算做个总结.主要内容都是基于CMU的Ryan Tibshirani开设的Convex Optimization课程做的笔记.这里只摘了部分内容做了笔记,很感谢Ryan Tibshirani在官网中所作的课程内容开源.也很感谢韩龙飞在CMU凸优化课程中的中文笔记,我在其基础上做了大量的内容参考.才疏学浅,忘不吝赐教. 1.凸集合 1.1 基本概念 定义:给定一个集合$C \subseteq \mathbb{R}^n $,满足下列条件

最近的看的一些内容好多涉及到凸优化,没时间系统看了,简单的了解一下,凸优化的两个基本元素分别是凸函数与凸包 凸集 凸集定义如下: 也就是说在凸集内任取两点,其连线上的所有点仍在凸集之内. 凸函数 凸函数的定义如下: $\theta x+(1-\theta)y$的意思就是说在区间 $(x,y)$ 之间任取一点 $y – \theta(y-x)$ 即为 $\theta x+(1-\theta)y$ , 凸函数的几何意义表示为函数任意两点的连线上的取值大于该点在函数上的取值,几何示意图形如下: 凸函数

传送门 题意:nnn个物品,有aaa个XXX道具和bbb个YYY道具,XXX道具移走第iii个物品概率为pip_ipi​,YYY道具移走第iii个道具概率为uiu_iui​. 对于每个物品每种道具最多用一次且只能被移走一次,现在问对于道具的所有分配方案中移走物品的总个数的期望最大值是多少. 思路: 有一个很显然的O(n3)dp:fi,j,kO(n^3)dp:f_{i,j,k}O(n3)dp:fi,j,k​表示前iii个物品用jjj个XXX道具和kkk个YYY道具的最大期望. 然后暴力代码如下:

最自然的学习规则是使用任何在过去回合中损失最小的向量. 这与Consistent算法的精神相同,它在在线凸优化中通常被称为Follow-The-Leader,最小化累积损失. 对于任何t: 我们谈到了能最小化累计损失不能说明此算法在在线学习场景是有效,我们需要探究算法的 Regret bound: 采用归纳法证明: 例子1:Online Quadratic Optimization 例子2:Online Linear Optimization 未完,待续...... 下一节将讲述FTRL算法

紧接上文,我们讲述在线分类问题 令,为0-1损失,我们做出如下的简化假设: 学习者的目标是相对于hypotheses set: H具有low regret,其中H中的每个函数是从到{0,1}的映射,并且regret被定义为: 我们首先证明这是一个不可能完成的任务——如果,没有算法可以获得次线性regret bound.考虑,是一个总是返0的函数,是一个总是返1的函数.通过简单地等待学习者的预测然后提供相反的答案作为真实答案,攻击者可以使任何在线算法的错误数等于T.相反,对于任何真实答案序列,令b

开启一个在线学习和在线凸优化框架专题学习: 1.首先介绍在线学习的相关概念 在线学习是在一系列连续的回合(rounds)中进行的: 在回合,学习机(learner)被给一个question:(一个向量,即为特征向量),为从instance domain:采样得到的.学习机给出一个预测值:,然后得到正确的答案:,从target domain:采样得到,定义损失函数为.在大多数情况下,在中,但是,允许学习者从更大的集合中选择预测有时很方便,我们用D表示prediction domain.下图展示了在

[BZOJ2654]Tree(凸优化,最小生成树) 题面 BZOJ 洛谷 题解 这道题目是之前\(Apio\)的时候写的,忽然发现自己忘记发博客了... 这个万一就是一个凸优化, 给所有白边二分一个额外权值,并且给边权加上这个权值. 然后跑最小生成树,将限制问题转换为判定问题即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath

[CF125E]MST Company(凸优化,最小生成树) 题面 洛谷 CF 题解 第一眼看见就给人丽洁姐那道\(tree\)一样的感觉. 那么二分一个权值,加给所有有一个端点是\(1\)的边, 然后跑最小生成树\(check\)一下就好了. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<al

[BZOJ1150]数据备份(动态规划,凸优化) 题面 BZOJ 洛谷 题解 在不考虑\(K\)的情况下很容易\(dp\) 如果把\(K\)考虑进状态显然是\(O(n^2)\)级别. 所以凸优化一下即可. 注意一下是一个下凸函数,所以是没操作一次就要减去一个权值. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #inc