本文综合了几个相关的维基百科,加了点自己的理解,从比较基础的向量投影和叉积讲起,推导出罗德里格斯旋转公式.公式比较繁杂,如有错误,欢迎评论区指出. 对于向量的三维旋转问题,给定旋转轴和旋转角度,用罗德里格斯(Rodrigues)旋转公式可以得出旋转后的向量.另外,罗德里格斯旋转公式可以用旋转矩阵表示,即将三维旋转的轴-角(axis-angle)表示转变为旋转矩阵表示. 向量投影(Vector projection) 向量a在非零向量b上的向量投影指的是a在平行于向量b的直线上的正交投影.结果是一

视觉SLAM中的数学基础 第三篇 李群与李代数 前言 在SLAM中,除了表达3D旋转与位移之外,我们还要对它们进行估计,因为SLAM整个过程就是在不断地估计机器人的位姿与地图.为了做这件事,需要对变换矩阵进行插值.求导.迭代等操作.例如,在经典ICP问题中,给定了两组3D点,我们要计算它们之间的变换矩阵.假设第一组的3D点为$\mathbf{P}=\{ \mathbf{p}_i | i = [1,2, \ldots, N] \}$,第二组3D点为$\mathbf{Q}=\{ \mathbf{q}

很多刚刚接触SLAM的小伙伴在看到李群和李代数这部分的时候,都有点蒙蒙哒,感觉突然到了另外一个世界,很多都不自觉的跳过了,但是这里必须强调一点,这部分在后续SLAM的学习中其实是非常重要的基础,不信你看看大神们的论文就知道啦. 关于李群李代数,其实高翔的<视觉SLAM十四讲>里推导什么的挺清楚了,本文就在高博的基础上用比较容易理解的语言讲述一下重点. 首先,假装(也可能是真的)自己是个小白,我们假想对面坐了一个大牛师兄,下面我们开启问答模式. 为啥需要李代数? 小白:师兄,我最近在学习SLAM

刚体,顾名思义,是指本身不会在运动过程中产生形变的物体,如相机的运动就是刚体运动,运动过程中同一个向量的长度和夹角都不会发生变化.刚体变换也称为欧式变换. 视觉SLAM中使用的相机就是典型的刚体,相机一般通过人手持.机载(安装在机器人上).车载(固定在车辆上)等方式在三维空间内运动,形式包括旋转.平移.缩放.切变等.其中,刚体在三维空间中最重要的运动形式就是旋转.那么刚体的旋转如何量化表达呢? 三维空间中刚体的旋转表示三维空间中刚体的旋转总共有4种表示方法,高翔的十四讲中的第3讲比较详细的讲解了

目录 第1讲 前言:本书讲什么:如何使用本书: 第2讲 初始SLAM:引子-小萝卜的例子:经典视觉SLAM框架:SLAM问题的数学表述:实践-编程基础: 第3讲 三维空间刚体运动 旋转矩阵:实践-Eigen:旋转向量和欧拉角:四元数:相似.仿射.射影变换:实践-Eigen几何模块:可视化演示: 第4讲 李群与李代数 李群李代数基础:指数与对数映射:李代数求导与扰动模型:实践-Sophus:相似变换群与李代数:小结: 第5讲 相机与图像 相机模型:图像:实践-图像的存取与访问:实践-拼接点云: 第

视觉SLAM中的数学基础 第一篇 3D空间的位置表示 前言 转眼间一个学期又将过去,距离我上次写<一起做RGBD SLAM>已经半年之久.<一起做>系列反响很不错,主要由于它为读者提供了一个可以一步步编码.运行的SLAM程序,为读者理解SLAM实现的细节作了详细的介绍.但是我也有很多对它不满意的地方.作为面向实现的介绍,它的代码不够稳定可靠,例如,甚至没有对匹配丢失的情况进行处理,因而只能用于教学.另一方面,对SLAM研究者来说,我只是介绍了编码方面如何调用一些常见的库函数,而没有

该可视化模块提供了坐标系变化,3D动画等功能 最简单的显示坐标系 viz::Viz3d window("window"); window.showWidget("Coordinate", viz::WCoordinateSystem()); window.spin(); 其中spin()函数开启一个event loop永远循环,spinOnce(int time = 1, bool redraw = true)表示event loop循环time时间.通常将与视图的

1.验证旋转矩阵是正交矩阵 感觉下面这篇博客写的不错 http://www.cnblogs.com/caster99/p/4703033.html 总结一下:旋转矩阵是一个完美的矩阵——正交矩阵.①行列式为1,②每个列向量都是单位向量且相互正交,③它的逆等于它的转置. 2.罗德里格斯公式的简单推导 http://blog.sina.com.cn/s/blog_ea828d2a0102wlk6.html 罗德里格斯旋转公式是通过反对称矩阵求旋转矩阵的方法,起初我在看别人写的姿态解算分析文章里看到,

卷积神经网络(CNN)可以很好的处理二维平面图像的问题.然而,对球面图像进行处理需求日益增加.例如,对无人机.机器人.自动驾驶汽车.分子回归问题.全球天气和气候模型的全方位视觉处理问题. 将球形信号的平面投影作为卷积神经网络的输入的这种Too Naive做法是注定要失败的,Cnns的巨大成就来源于局部感受野的权值共享,而多层结构总能找到不同rect的相同目标,给出响应.而对于球形图像,一个目标在图片的不同位置是发生形变的,若要使用CNNs直接共享,构建的局部感受野理应描述这种转换.如下图所示,而

优化问题定义以及求解 通用定义 解决问题的开始一定是定义清楚问题.这里引用g2o的定义. \[ \begin{aligned} \mathbf{F}(\mathbf{x})&=\sum_{k\in \mathcal{C}} \underbrace{\mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k,\mathbf{z}_k)^\top \Omega_k\mathbf{e}_k(\mathbf{x}_k,\mathbf{z}_k)}_{\mathbf{F}_k} \\ \mathbf{x}^* &a

十四讲: 传感器约束了外部环境 测到的通常都是一些间接的物理量而不是直接的位置数据 只能通过一些间接的手段,从这些数据推算自己的位置 好处是没有对环境提出任何要求 camera:单目.双目.深度 Monocular.Stereo.RGB-D (红外光结构可 Time-of-flight TOF通过主动向物体发射光并接收返回的光,测出物体与相机之间的距离——这部分并不像双目相机那样通过软件计算来解决,而是通过物理的测量手段,所以相比于双目相机可节省大量的计算)——  主要用于室内 运动:Motio

在Pose-Graph的过程中,如果使用G2O优化函数库,那么似乎是不用自己编写代价函数(也就是优化目标函数)的,因为G2O有封装好的SE3等格式,使得Pose-Graph的过程变得简单了,即只需要设置好vertex(优化变量),以及edge(vertex与vertex之间的trans),然后调用G2O的优化器,即可完成对Pose的优化:其实PoseGraph中的边本质上就是一个代价函数,只不过是G2O封装了,一旦我们使用Geres优化库,边就得自己构建,也就是需要自己构建优化目标函数. 其中,

视觉Slam笔记I 第二讲-三位空间刚体运动 点与坐标系: 基础概念: 坐标系:左手系和右手系.右手系更常用.定义坐标系时,会定义世界坐标系,相机坐标系,以及其他关心对象的坐标系.空间中任意一点可由空间的基的线性表出. 加减法:用坐标描述更方便. 内积:点乘得数,即 外积:叉乘得向量,即右手系下,得到按照右手定则获取的向量. 坐标系间的变换: 通过平移(向量的加减)和旋转(有多种描述方式,见下) 2D情况:二维坐标点表示位置+一个旋转角表示朝向. 3D情况:三维坐标点表示位置+一个旋转角(角度间

刚体就是 "刚性物体",它在运动过程中,内部各质点间的相对位置不会改变,也即 每两个质点间的距离 保持不变 假设刚体内任意两个质点,坐标分别为 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$,则在刚体运动过程中,这两个质点满足如下条件: $\quad \left( (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 \right) |_t = l^2$ 例如:影视剧<西游记>中的法宝金刚琢.玉净瓶是刚体:而

寒假有几项学习计划,其中有一些是为了一些任务而学,最主要的任务是我要在2021_v4的基础上编写2022_v1的大援代码,为此顺便学习一下机器人学的知识(下学期也有这方面的老黄的课程),看看能不能在结构和算法上对前一版本上有所突破. 本系列参考资料: <Robotics, Vision and Control> B站公开课:台湾交通大学机器人学公开课 老黄的<机器人技术基础>课程讲解及PPT N多有关机器人学的大佬的博客 讲道理机器人学之所以是机器人学,果然还是有点小难的,我看着这

罗德里格斯公式推导 图1(复制自wiki) 按照教程里,以图1为例子,设k为旋转轴,v为原始向量. v以k为旋转轴旋转,旋转角度为θ,旋转后的向量为vrot. 首先我们对v进行分解,分解成一个平行于k和垂直于K的向量,分别为v∥和v⊥. 则v∥=<k,v>k (因为这里设了k是单位向量,所以|k|=1) v⊥=v-v∥ 为了方便研究旋转后的向量,我们以k和v的叉乘w以及v∥和v⊥建立坐标系. w=kXv 设vrot的分量为v⊥',和v∥',显而易见的v∥'=v∥ 而v⊥'可以由v⊥和w来表示.

回顾Games101 chatper1 - 6 前言 本文只写回顾后重新加深认识的知识 透视除法的意义 经过MVP矩阵之后,将模型空间下某点的坐标,转换成了裁剪空间下的坐标,此时因为裁剪空间的范围是x∈[-W/2,W/2]和y∈[-H/2,H/2],所以经过以下两个变换,其中除以pz就是透视除法 一: \[-1≤2·\frac{\left( \frac{p_x}{p_z}·near \right)}{w}≤1 \\ -1≤2·\frac{\left( \frac{p_y}{p_z}·near \

WLW是写博客的利器,支持离线.格式排版等,而且拥有众多的插件.博客园推荐了代码插入插件,但是没有提供WLW的公式编译插件.目前我的一般做法是:先在Word下使用MathType编辑好公式,然后将公式复制到WLW的本文中,总感觉有点麻烦. 简单学习了WLW插件的开发,决定自己开发一个WLW代码插入插件.比较简单,按照以下步骤,大家可以开发属于自己的公式插入插件. 首先,开发公式插入插件涉及两方面内容.一方面是公式的编辑,一般采用Latex数学排版,为了解析LaTex函数,我们需要Latex解析链

1.下载UEditor(我的是.net项目) 2.下载UEditor公式插件 3.新建解决方案和项目 4.在浏览器中预览index.html页面 结果: 5.index.html源码 <!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd"> <html> <head> <titl

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