\(Catalan\) 数相关证明 Mushroom 2021-5-14 \(Catalan\)数的定义 给定一个凸\(n + 1\)边形, 通过在内部不相交的对角线,把它划分成为三角形的组合,不同的划分方案的个数称为\(Catalan\)数,记作\(h_n\) 比如说正对于五边形的\(Catalan\)数\(h_4\),可以可视化为下面的形式. 递推定义 分析 \(Catalan\)数的定义是描述一个凸多边形被不相交的直线分割为三角形的方案数,记这样一件事为\(A\) graph LR id1

先看2个问题: 问题一: n个元素进栈(栈无穷大),进栈顺序为1,2,3,....n,那么有多少种出栈顺序? 先从简单的入手:n=1,当然只有1种:n=2,可以是1,2  也可以是2,1:那么有2种:n=3,可以是1,2,3或1,3,2或2,1,3或2,3,1或3,2,1:一共5种:容易联想到可能有一个通项公式可以求:(扯一点,以前学栈的时候做过判断一个序列是否为合法的出栈顺序的题目,只要依次检查序列,对于一个元素i,在i后面出来的且序号比i小的肯定是从大到小出来的,比如 4 2 1 3,如果4

一.catalan数由来和性质 1)由来 catalan数(卡塔兰数)取自组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名. 卡塔兰数的一般项公式为 令其为h(n)的话,满足h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 我们从中取出的Cn就叫做第n个Catalan数,前几个Catalan数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,

Raney引理: 设整数序列A = {Ai, i=1, 2, …, N},且部分和Sk=A1+…+Ak,序列中所有的数字的和SN=1,在A的N个循环表示中,有且仅有一个序列B,满足B的任意部分和Si均大于零. Raney引理有一个很简单的数形结合的证明见<浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用>. 关于Catalan数wiki和百科上写的很详细,其中有一问题一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?该问题的解为h(n). 用1表示一个数字进栈,-1表示一个数字出栈,

卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论 组合 ) Posted on 2010-08-07 21:51 MiYu 阅读(13170) 评论(1)  编辑 收藏 引用 所属分类: ACM ( 数论 ) .ACM_资料 .ACM ( 组合 ) 维基百科资料: 卡塔兰数 卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列.由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名. 卡塔兰数的一般项公式为                       另类递归式:  h(n)=((4*

问题描述: 12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种? 这个笔试题,很YD,因为把某个递归关系隐藏得很深. 问题分析: 我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排. 用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案. 比如000000111111就对应着 第一排:0 1 2 3 4 5 第二排:6 7 8 9 10 11 010101010

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3324 http://blog.csdn.net/xymscau/article/details/6776182 #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<queue> #include<iostream> #include<algorit

Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下 一.Catalan数的定义令h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1),n>=2该递推关系的解为:h(n) = C(2n-2,n-1)/n,n=1,2,3,...(其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数) 问题描

一.Catalan数的定义 令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0)  (n>=2) 该递推关系的解为:h(n) = C(2n,n)/(n+1),n=0,1,2,3,... (其中C(2n,n)表示2n个物品中取n个的组合数) 二.问题描述 12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种? 问题分析: 我们先把这12个

都是数学题 思维最重要,什么什么数都没用,DP直接乱搞(雾.. 参考LH课件,以及资料:http://daybreakcx.is-programmer.com/posts/17315.html 做到有关的题目会更新 n个乒乓球放到m个盒子里的方案数 1.球相同,盒子不同,不允许空 分成m段,n-1个空选m-1个放隔板 ,$\binom{n-1}{m-1}$ 2.球相同,盒子不同,允许空 $(1)$ 加入m个球变成不允许空 $(2)$ m-1个隔板和球放在一起,从中选m-1个做隔板 $C_{n+m

Catalan数 前10项 \(1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862\) (注:从第\(0\)项起) 计算式 \(C_n=\frac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n}\) \(C_{n+1}=\sum_{i=0}^nC_iC_{n-i}\) \(C_n=\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1}\) \(C_n=\frac{4n-2}{n+1}C_{n-1}\) 组合意义 1.由\(n\)个\(+1\)和\(n\)个\(-1\)构成的\(2

作者:寒小阳 时间:2013年9月. 出处:http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/11938973. 声明:版权所有,转载请注明出处,谢谢. 0.前言 当年博主自己参加校招笔试面试时就遇到过几次catalan数相关的题目,今年又到了互联网招聘季,翻看下近期各大公司的笔试面试题,发现它依旧是很容易被考察的点.尴尬的是,博主自己觉得catalan数相关的题目不好归类到某种具体的数据结构或者算法里面(计算catalan数的那个小程序不算算法

全是入门的一些东西.基本全是从别处抄的. 栈: 支持单端插入删除的线性容器. 也就是说,仅允许在其一端加入一个新元素或删除一个元素. 允许操作的一端也叫栈顶,不允许操作的一端也叫栈底. 数个箱子相叠就可以认为是一个栈,只能在最顶端加入一个新箱子或拿走一个箱子. 栈中的元素遵循后进先出(last in first out,LILO)的规律.即:更早出栈的元素,应为更早入栈者. 这是一个演示: 奇数行为栈中元素(右端可以进行插入删除),元素以逗号隔开, EMPTY表示栈为空 偶数行为进行的操作 EM

组合数学的实质还是DP,但是从通式角度处理的话有利于FFT等的实现. 首先推荐$Candy?$的球划分问题集合: http://www.cnblogs.com/candy99/p/6400735.html 以下部分节选自 http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/40888349 第一类Stirling数 定理:第一类Stirling数$s(p,k)$计数的是把p个对象排成k个非空循环排列的方法数. 证明:把上述定理叙述中的循环排列叫做圆圈

概要 在一些面试的智力题中会遇到此数的变形,如果完全不了解,直接想结果是很困难的,故在此简单介绍一下.   基本定义 Catalan 数的定义根据不同的应用环境有很多不同的定义方式,下面给出一个.   Catalan 数:一个凸 \(n\) 边形,通过不相交于 \(n\) 边形内部的对角线,把 \(n\) 边形拆分成若干三角形,不同拆分的数目用 \(f(n)\) 表示,即称为 Catalan 数. 例如下五边形: 有 \(f(5) = 5\). 它有以下的递推关系: \begin{align}

Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下 一.Catalan数的定义令h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1),n>=2该递推关系的解为:h(n) = C(2n-2,n-1)/n,n=1,2,3,...(其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数) 问题描

出处:http://blog.sina.com.cn/s/blog_6aefe4250101asv5.html 什么是Catalan数 说到Catalan数,就不得不提及Catalan序列,Catalan序列是一个整数序列,其通项公式是我们从中取出的就叫做第n个Catalan数,前几个Catalan数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 3535767

百度一番: 历史 ·1758年,Johann Segner 给出了欧拉问题的递推关系: ·1838年,研究热潮: –GabrielLame给出完整证明和简洁表达式: –EugèneCharlesCatalan在研究汉诺塔时探讨了相关问题,解决了括号表达式的问题. –…… –1900年,EugenNetto在著作中将该数归功于Catalan. ·1988年以及1999年的文献研究表明实际上最初发现Catalan数的也不是Euler. –1753欧拉在解决凸包划分成三角形问题的时候,推出了Catal

应用一: codevs 3112 二叉树计数  时间限制: 1 s  空间限制: 128000 KB  题目等级 : 黄金 Gold   题目描述 Description 一个有n个结点的二叉树总共有多少种形态 输入描述 Input Description 读入一个正整数n 输出描述 Output Description 输出一个正整数表示答案 样例输入 Sample Input 6 样例输出 Sample Output 132 数据范围及提示 Data Size & Hint 1<=n&l

Problem: n个人(偶数)排队,排两行,每一行的身高依次递增,且第二行的人的身高大于对应的第一行的人,问有多少种方案.mod 1e9+9 Solution: 这道题由1,2,5,14 应该想到Catalan数,但是我却花了两个小时去找递推式. 首先 Catalan数 : 基本规律:1,2,5,14,42,132,.......... 典型例题: 1.多边形分割.一个多边形分为若干个三角形有多少种分法. C(n)=∑(i=2...n-1)C(i)*C(n-i+1) 2.排队问题:转化为n个人

Catalan数 [参考网址]http://www.cnblogs.com/gongxijun/p/3232682.html 记得当时我们队写过一个,差点超时,现在找到了公式,感觉还是挺简单的. 还要注意,就算开long long 也只能表示到第33个,之后就会溢出. &代码: void Solve() { f[1]=1; for(int i=2;i<40;i++){ f[i]=f[i-1]*(4*i-2)/(i+1); } PIar(f,40) } 输出数据在下面,也很显然,33之后就变成