一.三个简单的问题 1.给定一串长为2n的01序列,其中0和1的数量相等,满足任意前缀中0的个数不少于1的个数,求序列的个数 2.给出一串长为n的序列,按顺序将他们进栈,随意出栈,求最后进出栈的方案 3.给定一个n个节点的二叉树,求二叉树有多少种(这里定义不同指树的形态不同) 这三个问题都有关catalan数 事实上关于Catalan的性质有关问题很多,这里只是比较针对的列出了几种. 二.求解问题1 稍微想一想及可以知道,问题1,2同构,问题3却好像不一样. 我们以问题1为例,推出卡特兰数的计算

卡特兰数的英文维基讲得非常全面,强烈建议阅读! Catalan number - Wikipedia (本文中图片也来源于这个页面) 由于本人太菜,这里只选取其中两个公式进行总结. (似乎就是这两个比较常用?) 首先先扔卡特兰数的定义式 \[Catalan_n=\prod_{i=1}^{n-1}Catalan_i*Catalan_{n-i}\] (卡特兰数的很多应用,比如二叉树形态数,出栈序列数等,都由这个定义式得到.详见英文维基) 公式1 (通项公式) : \[Catalan_n=\frac{

一.卡特兰数(Catalan number) 1.定义 组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列(用c表示).以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名: 2.计算公式 (1)递推公式 c[n]=Σ(0≤k<n)c[k]c[n-k-1],边界条件为c[0]=1; 其递推解为c[n]=C(2n,n)/(n+1),即卡特兰数的通项公式,其中C表示数的组合: 根据组合公式我们可以化简得c[n]=2n(2n-1).....(n+2)/n!; (2)另类递推式 c[n]=c[n-1](4n-2)

作者:阿凡卢 出处:http://www.cnblogs.com/luxiaoxun/ 本文版权归作者和博客园共有,欢迎转载,但未经作者同意必须保留此段声明,且在文章页面明显位置给出原文连接,否则保留追究法律责任的权利. 卡特兰数 catalan number 卡特兰数前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 12964479

Catalan number,卡特兰数又称卡塔兰数,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列.以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名. 卡特兰数的前几个数 前20项为(OEIS中的数列A000108):1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190

又双叒叕来水数论了 今天来学习\(Lucas \:\ \& \:\ Catalan Number\) 两者有着密切的联系(当然还有CRT),所以放在一起学习一下 \(Lucas\) 定义\(\&\)性质 \(Lucas\)定理是用来求 $C_n^m mod :\ p \(的值. 其中\)n\(和\)m\(是非负整数,\)p\(是素数. 一般用于\)m,n\(很大而\)p\(很小,抑或是\)n,m\(不大但是大于\)p$的情况下来求结果. 用处\(\&\)背景 目前我们学过几个用来求

内容部分来自以下博客: Cyberspace_TechNode 邀月独斟 一个大叔 表示感谢! Catalan数的引入: 一个长度为2N的序列,里面有N个+1,N个-1 它的任意前缀和均非负,给定N,求有多少个这样的序列 2n个人排队买票,其中n个人持50元,n个人持100元.每张票50元,且一人只买一张票.初始时售票处没有零钱找零.请问这2n个人一共有多少种排队顺序,不至于使售票处找不开钱 可以发现这两个问题的本质是一样的(括号匹配问题),它们的答案都是卡特兰数 定义:令h(0)=1,h(1)

卡特兰数出现在许多计数问题中. 常见的例子有:$n$ 个节点的有序二叉树,$2n$ 个括号构成的合法括号序列. 在上面所举的两个例子中,很容易看出卡特兰数满足递推: $$ C_{n+1} = \sum_{i = 0}^{n} C_i C_{n-i }, \quad(n \ge 1) $$ $C_0 = 1$ 卡特兰数的闭形式,亦即上述递推式的解为 $$ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!(n+1)!} $$ 曾经我对于如何推导这

一.定义: 卡特兰数是一组满足下面递推关系的数列: 二.变形: 首先,设h(n)为Catalan数的第n+1项,令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递推式: h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2) 可化简为1阶递推关系: h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)  (n>=2) 想看证明的点这里:https://blog.csdn.net/guoyangfan_/article/details/82

http://blog.csdn.net/yutianzuijin/article/details/13161721

公式推导题,G(0) = 1,G(1) = t,给出一个 i 和 G(i),要求求出G(j)的值: G(0) = 0*t + 1 G(1) = 1*t + 0; 观察t的系数和常数值可以知道二者都遵循斐波那契的规律,设系数值为Y(n),常数值为X(n); G(2) = 1*t + 1; Y(0) = 0,Y(1) = 1; G(3) = 2*t + 1; X(0) = 1, X(1) = 0; G(4) = 3*t + 2; 这样就能求出答案了,最后的t满足要求就有解 G(5) = 5*t +

本文原题: LeetCode. 给定 n, 求解独特二叉搜寻树 (binary search trees) 的个数. 什么是二叉搜寻树? 二叉查找树(Binary Search Tree),或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树: 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值: 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值: 它的左.右子树也分别为二叉排序树. 举个栗子,给定 n = 3, 共有 5 个. 1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1

1.Combinatorial Mathematics 1.1 Bell Number: \(B_n\)表示元素个数为n的集合划分成若干个不相交集合的方案数. \(B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^n C(n,k)B_k\). 1.2 Catalan Number: 递推公式: \(h_1 = 1, h_n = \frac{h_{n-1}(4n-2)}{n+1}\). 组合数公式:\(h_n = \frac{C(2n,2)}{n +1} = C(2n,n) - C(2n,n+1)

百度一番: 历史 ·1758年,Johann Segner 给出了欧拉问题的递推关系: ·1838年,研究热潮: –GabrielLame给出完整证明和简洁表达式: –EugèneCharlesCatalan在研究汉诺塔时探讨了相关问题,解决了括号表达式的问题. –…… –1900年,EugenNetto在著作中将该数归功于Catalan. ·1988年以及1999年的文献研究表明实际上最初发现Catalan数的也不是Euler. –1753欧拉在解决凸包划分成三角形问题的时候,推出了Catal

卡特兰数又称卡塔兰数,英文名Catalan number,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列.由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名,其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796. 通项:f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0) n>=2 f(n)=f(n-1)*(4n-2)/(n+1) 应用场景:

卡特兰数又称卡塔兰数,英文名 Catalan number,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列.以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名,其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466

引言 在开始论述之前,我想请大家先看下这几个问题: 有 \(2n\) 个人排成一行进入剧场.入场费 5 元.其中只有 \(n\) 个人有一张 5 元钞票,另外 \(n\) 人只有 10 元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有 10 元的人买票,售票处就有 5 元的钞票找零? 一位大城市的律师在她住所以北 \(n\) 个街区和以东 \(n\) 个街区处工作.每天她走 \(2n\) 个街区去上班.如果他从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路? 在圆上选择 \(2

题目: Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n? For example,Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's. 1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2 3 Hide Tags Tree Dynamic Programming Hide Sim

[Leetcode] Unique binary search trees 唯一二叉搜索树 Unique Binary Search Trees leetcode java 描述 Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n? For example,Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's. 1 3 3 2

排列组合是数学中的一个分支.在计算机编程方面也有非常多的应用,主要有排列公式和组合公式.错排公式.母函数.Catalan Number(卡特兰数)等. 一.有关组合数学的公式 1.排列公式   P(n,r)=n!/r! 2.组合公式   C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)  C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) 3.错排公式   d[1]=0;   d[2]=1; d[n]=(n-1)*(d[n-1]+d[n-2]) 4.卡特兰数 前几项:1, 2, 5, 14, 42,