Preface 对于许多数论问题,都需要涉及到Gcd,求解Gcd,常常使用欧几里得算法,以前也只是背下来,没有真正了解并证明过. 对于许多求解问题,可以列出贝祖方程:ax+by=Gcd(a,b),用Exgcd解之即可到答案,Exgcd即扩展欧几里得算法.他还能求乘法逆元,同余方程通解.没有你想得到的,只有你做不到的. 这里是对于两个算法的学习小记 Content 欧几里得算法 算法介绍 由百度百科得 欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个正整数a,b的最大公约数. 从整数的除法可知:对任给二整

题面就是让你解同余方程组(模数不互质) 题解: 先考虑一下两个方程 x=r1 mod(m1) x=r2 mod (m2) 去掉mod x=r1+m1y1   ......1 x=r2+m2y2   ......2 1-2可以得到 m1y1-m2y2=r1-r2 形同ax+by=c形式,可以判无解或者解出一个y1的值 带回1式可得到一个x的解x0=r1-y1a1 通解为x=x0+k*lcm(m1,m2) 即x=x0 mod(lcm(m1,m2)) 令M=lcm(m1,m2) R=x0 所以x满足x

ax=n(%b)  ->   ax+by=n 方程有解当且仅当 gcd(a,b) | n ( n是gcd(a,b)的倍数 ) exgcd解得 a*x0+b*y0=gcd(a,b) 记k=n/gcd(a,b) 则方程ax+ny=b的所有解为 x=k*x0 +  [ b/gcd(a,b) ]*t y=k*y0 -  [ a/gcd(a,b) ]*t a*x0+b*y0=gcd(a,b) ->  (a*x0+b*y0)*n/gcd(a,b) = gcd(a,b)*n/gcd(a,b) -> 

模拟又炸了,我死亡 $exgcd$(扩展欧几里德算法)用于求$ax+by=gcd(a,b)$中$x,y$的一组解,它有很多应用,比如解二元不定方程.求逆元等等,这里详细讲解一下$exgcd$的原理. 了解$exgcd$算法前,需要$gcd$算法做铺垫.gcd,又称辗转相除法,用于计算两个整数 $a,b$ 的最大公约数. $gcd$函数的基本性质: $gcd(a,b)=gcd(b,a) $ $gcd(a,b)=gcd(-a,b) $ $gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)$ $gcd(a,b

挖掘机(dig.*) 背景 附中机房谁最虚?高二一班***!感觉很顺,是吧? 题目描述 今天,丧尸czy开着挖掘机去上学(……).但是他发现他的mz满天下,所以一路上他碰到了好多他的mz.一开始他以1km/min的速度(=60km/h……)开着挖掘机前进.他发现他只会在恰好到达某一时刻或者到达某个距离遇到mz.每次遇到mz,czy都会毫不犹豫的把她们顺路捎走(^_^).但是他实在是太虚了,以至于当有i个mz时他的速度下降到1/(i+1).具体说,一开始czy以1km/min速度前进,有1个mz的

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below). The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in t

一坨js代码: function s_gi(un, pg, ss) { var c = "s.version='H.26';s.an=s_an;s.logDebug=function(m){var s=this,tcf=new Function('var e;try{console.log(\"'+s.rep(s.rep(s.rep(m,\"\\\\\",\"\\\\\\\\\"),\"\\n\",\"\\\\n\&

虽然题目不难,但是 是我第一次做出的pwn题,得写下. __int64 sub_4007E6() { char s1; // [sp+0h] [bp-30h]@1 memset(&s1, , 0x30uLL); puts("Input your Name:"); gets(&s1); if ( strcmp(&s1, "root") ) ::s1 = strdup(&s1); return 0LL; } 这里有溢出点.s1. 然后就很

poj2115 C Looooops 题意: 对于C的for(i=A ; i!=B ;i +=C)循环语句,问在k位存储系统中循环几次才会结束. 若在有限次内结束,则输出循环次数. 否则输出死循环. (k位==mod $2^{k}$) 列出方程:$A+Cx\equiv B(mode\quad 2^{k})$ 转换一下:$Cx+ky=B-A$ 用exgcd解出 $Cx+ky=gcd(C,k)$ 然后把求出的$x*(B-A)/gcd(C,k)$ 再$\% (k/gcd(C,k))$求个最小正整数解

https://codeforces.com/contest/1106/problem/F 题意 数列公式为\(f_i=(f^{b_1}_{i-1}*f^{b_2}_{i-2}*...*f^{b_k}_{i-k})\)mod\(P\),给出\(f_{1}...f_{k-1}\)和\(f_{n}\),求\(f_{k}\),其中\(P\)等于998244353 题解 3是998244353的离散对数,所以\(f^{b_1}_{i-1} \equiv 3^{h_i*b_1}(modP)\),怎么求离散

题目链接: [Noi2018]屠龙勇士 题目大意:有$n$条龙和初始$m$个武器,每个武器有一个攻击力$t_{i}$,每条龙有一个初始血量$a_{i}$和一个回复值$p_{i}$(即只要血量为负数就一直回复$p_{i}$的血量,只有在攻击后会回血),杀死一条龙当且仅当攻击结束后或回复血量之后血量为$0$,杀死一条龙会获得一个新的武器.现在要求对每条龙攻击固定次数$x$求出最小的$x$,使所有龙都能被杀死. 因为每次选择的武器是固定的,所以只要用$multiset$存当前剩下的武器然后每次按题目规

题目传送门 戳我来传送 题目大意 给定$k, p, a$,求$x^{k}\equiv a \pmod{p}$在模$p$意义下的所有根. 考虑模$p$下的某个原根$g$. 那么$x  = g^{ind_{g}x}, a = g^{ind_{g}a}$. 所以原方程转化为$g^{k\cdot ind_{g}x}\equiv g^{ind_{g}a} \pmod{p}$. 所以方程等价于$k\cdot ind_{g}x \equiv ind_{g}a \pmod{\varphi(p)}$. 用exgc

[CF819D]Mister B and Astronomers 题意:小鼠Jack想当太空人(哦不,太空鼠)!为此,它在夜晚带领一堆小朋友一起来到户外看星星.一共有 $n​$ 只小鼠,这些小鼠围成一圈轮流观察夜空.具体地,第 $i​$ 只小鼠会在第 $(i-1)\%n​$ 只小鼠观察夜空之后的第 $a_i​$ 秒,抬头观察 $1​$ 秒钟的夜空.即: $1​$ 号小鼠在第 $0​$ 秒观察夜空,$2​$ 号小鼠在第 $a_2​$ 秒观察夜空,$3​$ 号小鼠在第 $a_2+a_3​$ 秒观察夜

题面 传送门 前置芝士 \(BSGS\) 什么?你不会\(BSGS\)?百度啊 原根 对于素数\(p\)和自然数\(a\),如果满足\(a^x\equiv 1\pmod{p}\)的最小的\(x\)为\(p-1\),那么\(a\)就是\(p\)的一个原根 离散对数 对于素数\(p\),以及\(p\)的一个原根\(g\),定义\(y\)为\(x\)的离散对数,当且仅当\(g^y\equiv x\pmod{p}\),记\(y\)为\(ind_g x\).不难发现原数和离散对数可以一一对应.也不难发现离

题目链接: 洛谷 BZOJ LOJ 题目大意:这么长的题面,就饶了我吧emmm 这题第一眼看上去没法列出同余方程组.为什么?好像不知道用哪把剑杀哪条龙…… 仔细一看,要按顺序杀龙,所以获得的剑出现的顺序也是固定的. 那么如果能把所有龙杀死,就能模拟出哪把剑杀那条龙了. (以下设所有除 $n,m$ 外的数的最大值为 $v$) $O(nm)$? 不,发现这里用剑的限制实际上是给出一个上界,来用lower_bound的. 插入也不要太暴力.我们想到什么?手写平衡树multiset! 这一部分复杂度是

今天终于弄懂了扩展欧几里德算法,有了自己的理解,觉得很神奇,就想着写一篇博客. 在介绍扩展欧几里德算法之前,我们先来回顾一下欧几里德算法. 欧几里德算法(辗转相除法): 辗转相除法求最大公约数,高中就学了,但当时知其然不知其所以然,直到大学才真正理解它的精髓. 理解辗转相除,关键在于理解 gcd(a,b)==gcd(b,a%b) 那么怎么去理解呢?下面是我的理解: 首先对于非负整数a,b,一定可以写成 a=k*b+r(r<b) 的形式 令 g=gcd(a,b) ,则有 g|a ,即 g|(k*b

数论好题.. 香! 首先我们看到这一题, 题意是 \[a + c * x \equiv b (mod \ \ 2 ^ k) \] 对此式移一下项, 得 \[c * x \equiv b - a (mod \ \ 2 ^ k) \] 此时原式为标准线性同余方程. \(exgcd\)解得\(x\)后,x 要做如下处理 : 设\(g = gcd(b - a, 2 ^ k), k = 2 ^ k, d = b - a\) 1#. \(x = x * (d / g)\), 此时求得一组特解(因为\(exg

基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 0 难度:基础题 给出2个数M和N(M < N),且M与N互质,找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1,如果有多个满足条件的,输出最小的.Input输入2个数M, N中间用空格分隔(1 <= M < N <= 10^9)Output输出一个数K,满足0 < K < N且K * M % N = 1,如果有多个满足条件的,输出最小的.Input示例2 3Output示例2 思路:

思路 中国剩余定理解决的是这样的问题 求x满足 \[ \begin{matrix}x \equiv a_1(mod\ m_1)\\x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ \dots\\x\equiv a_n(mod\ m_n)\end{matrix} \] 在模数互质的情况下,解为 \[ x=\sum_ia_iM_iM_i^{-1}(mod M) \] 其中\(M=\prod_{i}m_i\),\(M_i=\frac{M}{m_i}\),\(M_i^{-1}\)为\(M_i\)在模\(m

(EX)CRT总结 这个东西是联赛的时候搞的,早就忘了,写篇博客复习一下 中国剩余定理(crt) 给定\(a\).\(m\) \[ x\equiv a_1(mod\;m_1)\\ x\equiv a_2(mod\;m_2)\\ x\equiv a_3(mod\;m_3)\\ ...\\ x\equiv a_n(mod\;m_n) \] 保证所有\(m\)互质,要求\(x\)最小. 记一下结论算了 设 \[ M=\prod_{i=1}^nm_i \\ M_i=M/m_i\\ k_iM_i\equi

Description A game-board consists of N fields placed around a circle. Fields are successively numbered from1 to N clockwise. In some fields there may be obstacles. Player starts on a field marked with number 1. His goal is to reach a given field mark