树有很多种形态,给定结点个数,求生成不同形态二叉树的个数,显然要用到Catalan数列. 那如果给定一个图(Graph)\(G=(V,E)\),要求其最小生成树G',最好的方法莫过于Prim或Kruskal了. 上图就是一种求最小生成树的方法. 可要求图G中不同生成树的总个数呢? 这里要用到Kirchhoff's theoreom,一个神奇的定理. 这里只做简单的介绍,并不给出严格的证明. 详细内容请参见Wikipedia::Kirchhoff's theorem 以及芜湖一中 周冬さん的生成树

4894: 天赋 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 191  Solved: 150[Submit][Status][Discuss] Description 小明有许多潜在的天赋,他希望学习这些天赋来变得更强.正如许多游戏中一样,小明也有n种潜在的天赋,但有 一些天赋必须是要有前置天赋才能够学习得到的.也就是说,有一些天赋必须是要在学习了另一个天赋的条件下才 能学习的.比如,要想学会"开炮",必须先学会"开枪&q

Problem Description There are N robots standing on the ground (Don't know why. Don't know how). Suddenly the sky turns into gray, and lightning storm comes! Unfortunately, one of the robots is stuck by the lightning!So it becomes overladen. Once a ro

1002: [FJOI2007]轮状病毒 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MBSubmit: 5577  Solved: 3031[Submit][Status][Discuss] Description 轮状病毒有很多变种,所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的.一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子 和圆心处一个核原子构成的,2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道.如下图所示 N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边,使得各原子之间有

Loj 2320.「清华集训 2017」生成树计数 题目描述 在一个 \(s\) 个点的图中,存在 \(s-n\) 条边,使图中形成了 \(n\) 个连通块,第 \(i\) 个连通块中有 \(a_i\) 个点. 现在我们需要再连接 \(n-1\) 条边,使该图变成一棵树.对一种连边方案,设原图中第 \(i\) 个连通块连出了 \(d_i\) 条边,那么这棵树 \(T\) 的价值为: \[ \mathrm{val}(T) = \left(\prod_{i=1}^{n} {d_i}^m\right)

信息学竞赛中,有关生成树的最优化问题如最小生成树等是我们经常遇到的,而对生成树的计数及其相关问题则少有涉及.事实上,生成树的计数是十分有意义的,在许多方面都有着广泛的应用.本文从一道信息学竞赛中出现的例题谈起,首先介绍了一种指数级的动态规划算法,然后介绍了行列式的基本概念.性质,并在此基础上引入Matrix-Tree定理,同时通过与一道数学问题的对比,揭示了该定理所包含的数学思想.最后通过几道例题介绍了生成树的计数在信息学竞赛中的应用,并进行总结. 生成树的计数 Matrix-Tree定理 问题

题意 F.A.Qs Home Discuss ProblemSet Status Ranklist Contest 入门OJ ModifyUser  autoint Logout 捐赠本站 Problem 1494. -- [NOI2007]生成树计数 1494: [NOI2007]生成树计数 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 1024  Solved: 592[Submit][Status][Discuss] Description 最

[BZOJ1494][NOI2007]生成树计数(动态规划,矩阵快速幂) 题面 Description 最近,小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展,他发现: ·n个结点的环的生成树个数为n. ·n个结点的完全图的生成树个数为n^(n-2).这两个发现让小栋欣喜若狂,由此更加坚定了他继续计算生成树个数的 想法,他要计算出各种各样图的生成树数目.一天,小栋和同学聚会,大家围坐在一张大圆桌周围.小栋看了看, 马上想到了生成树问题.如果把每个同学看成一个结点,邻座(结点间距离为1)的同学间

此类题是给定一个无向图,求所有生成树的个数,生成树计数要用到Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理) G的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵,并且满足:当i≠j时,dij=0:当i=j时,dij等于vi的度数 G的邻接矩阵A[G]也是一个n*n的矩阵, 并且满足:如果vi.vj之间有边直接相连,则aij=1,否则为0 我们定义G的Kirchhoff矩阵(也称为拉普拉斯算子)C[G]为C[G]=D[G]-A[G],则Matrix-Tree定理可以描述为:G的所有不同的生成树的个

Highways 题目链接:https://vjudge.net/problem/SPOJ-HIGH Description: In some countries building highways takes a lot of time... Maybe that's because there are many possiblities to construct a network of highways and engineers can't make up their minds whi

[BZOJ1494] [NOI2007]生成树计数 Description 最近,小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展,他发现:·n个结点的环的生成树个数为n.·n个结点的完全图的生成树个数为n^(n-2).这两个发现让小栋欣喜若狂,由此更加坚定了 他继续计算生成树个数的想法,他要计算出各种各样图的生成树数目.一天,小栋和同学聚会,大家围坐在一张大圆桌周围.小栋看了看,马上想到了生成树问题. 如果把每个同学看成一个结点,邻座(结点间距离为1)的同学间连一条边,就变成了一个环.可是,

Lightning Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1099    Accepted Submission(s): 363 Problem Description There are N robots standing on the ground (Don't know why. Don't know how). Sudd

第一个部分 前4题 次小生成树 算法:首先如果生成了最小生成树,那么这些树上的所有的边都进行标记.标记为树边. 接下来进行枚举,枚举任意一条不在MST上的边,如果加入这条边,那么肯定会在这棵树上形成一个环,如果还要维护处树的特点 那么就要在这个环上删去一条边,这样他还是树,删掉的边显然是这条链上权值最大边更可能形成次小生成树.那么就有2中方法可以做. 第一种PRIM在prim时候直接可以做出这个从I到J的链上权值最大的值MAX[i][j]; 同时可以用kruskal同样方式标记树边,然后DFS跑

1494: [NOI2007]生成树计数 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 793  Solved: 451[Submit][Status][Discuss] Description 最近,小栋在无向连通图的生成树个数计算方面有了惊人的进展,他发现: ·n个结点的环的生成树个数为n. ·n个结点的完全图的生成树个数为n^(n-2).这两个发现让小栋欣喜若狂,由此更加坚定了他继续计算生成树个数的 想法,他要计算出各种各样图的生成树数目.一天

Lightning Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1457    Accepted Submission(s): 469 Problem Description There are N robots standing on the ground (Don't know why. Don't know how). Sudd

Eastest Magical Day Seep Group's Summer Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others) Total Submission(s): 308    Accepted Submission(s): 83 Problem Description As we know, Tsuyuri Kumin likes sleeping in Eastes

题目描述: 一个由n个部门组成的公司现在需要分层,但是由于员工间的一些小小矛盾,使得他们并不愿意做上下级,问在满足他们要求以后有多少种分层的方案数? 解题思路: 生成树计数模板题,建立Kirchhoff矩阵,利用Matrix_tree定理求解. Kirchhoff矩阵:假设G为n*n矩阵,C为G的入度矩阵(i==j时,C[i][j]等于i的入度;i!=j时,C[i][j]等于零),A为G的邻接矩阵,那么就有Kirchhoff矩阵等于C-A. Matrix_tree定理:G的不同生成树的个数等于其

传送门 输入格式: 第一行一个整数T,表示测试数据的个数 每个测试数据第一行给出 n,m 分别表示点数与边数 接下来 m 行,每行给出两个数 a,b ,表示 a,b 之间有一条无向边 输出格式: 每个测试数据,输出一个整数,表示给出的无向图的生成树的个数 输入输出样例 输入样例#1: 4 4 5 3 4 4 2 2 3 1 2 1 3 2 1 2 1 1 0 3 3 1 2 2 3 3 1 输出样例#1: 8 1 1 3 辗转相除 code: //By Menteur_Hxy #include<

例:给定一个图,图上每条边是红色或蓝色 求恰好有K条红边的生成树的个数,N<=50. Matrix-Tree定理 对于限制条件可以利用多项式,把红边边权设为X,蓝边边权设为1. 最后求行列式得到的多项式中,X^k的系数就是答案. 同样这也是利用了边权乘积的推广. 至于多项式情况下不方便高斯消元的问题,通过代入具体的数插值求多项式可以解决. BZOJ 4596 BZOJ 5297 HDU4408 SPOJ 104 https://www.cnblogs.com/zj75211/p/8039443.

[题目分析] Matrix-Tree定理+高斯消元 求矩阵行列式的值,就可以得到生成树的个数. 至于证明,可以去看Vflea King(炸树狂魔)的博客 [代码] #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define eps 1e-8 #define ma