Latex中定义.定理.引理.证明 设置方法总结 在LaTex中需要有关定理.公理.命题.引理.定义等时,常用如下命令 \newtheorem{定理环境名}{标题}[主计数器名] \newtheorem{theorem}{Theorem}[Chapter] 意思就是定义一个以Theorem为标题的theorem环境,计数以章节数为主. \begin{theorem}[均值不等式] 设$A,B$是两个实数, 则$2AB\leq 2 A^2+B^2$. \end{theorem} 如果需要输出中文,

定义简化版: 置换,就是一个1~n的排列,是一个1~n排列对1~n的映射 置换群,所有的置换的集合. 经常会遇到求本质不同的构造,如旋转不同构,翻转交换不同构等. 不动点:一个置换中,置换后和置换前没有区别的排列 Burnside引理:本质不同的方案数=每个置换下不动点的个数÷置换总数(一个平均值) Polya定理:一个置换下不动点的个数=颜色^环个数.(辅助Burnside引理,防止枚举不动点复杂度过高) 这篇文章写得很详细了(具体的在此不说了): Burnside引理与Polya定理 **特

#Burnside引理与polay定理 引入概念 1.置换 简单来说就是最元素进行重排列 是所有元素的异议映射,即\([1,n]\)映射到\([1,n]\) \[ \begin{pmatrix} 1&2&i \ldots n \\ a_{1} & a_{2}&a_{i} \ldots a_{n} \end{pmatrix}\] 比如,把正方体绕中心旋转90度,可以看做四个顶点的一个置换 (1)置换可以构成换:对于元素连一条有向边,连到置换中映射的元素,会构成n个环,(循环)

目录 @0 - 参考资料@ @1 - 问题引入@ @2 - burnside引理@ @3 - pólya定理@ @4 - pólya定理的生成函数形式@ @0 - 参考资料@ 博客1 @1 - 问题引入@ 一个经典问题: 一正方形分成4格,2着色,有多少种方案? 其中,经过转动相同的图象算同一方案. 假如不考虑转动,各种方案如下所示. 首先可以发现,转动的角度只有 4 种:0°,90°,180°,270°. 然后可以得到,每一次转动可以将一个方案唯一映射成另一个方案(可以是自身). 于是我们可以

[BZOJ1488][HNOI2009]图的同构(Burside引理,Polya定理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 求本质不同的方案数,很明显就是群论这套理论了. 置换一共有\(n!\)个,考虑如何对于任意一个置换求不动点数量. 首先边存在或者不存在太麻烦了,我们假装所有边都已经存在,出现过的边和不存在的边用两种不同的颜色染色即可.这样子我们就假装所有的边都出现了,也就是一个完全图. 显然循环是对于点而论的,但是这题同构是对于边而论的.那么我们对于一个点的循环,考虑它的两个顶点.这两个顶点只有两

群 群的定义 在数学中,群是由一种集合以及一个二元运算所组成的,符合"群公理"的代数结构. 一个群是一个集合 \(G\) 加上对 \(G\) 的二元运算.二元运算用 \(\cdot\) 表示,它结合了任意两个元素 \(a\) 和 \(b\) 形成了一个属于 \(G\) 的元素,记为 \(a\cdot b\). 群的公理化定义 群公理包含下述四个性质(有时略去封闭性,只有三个性质).若非空集合 \(G\) 和 \(G\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((G,\cdot

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Burnside-Polya.html 问题模型 有一个长度为 $n$ 的序列,序列中的每一个元素有 $m$ 种取值. 如果两个序列循环同构,那么我们称这两个序列等价. 求两两不等价的序列个数. Burnside引理 假设有若干个置换 $P_1,P_2,\cdots$ ,设由这些置换生成的置换群为 $Q$ .如果序列 A 可以通过一个 $Q$ 中的置换变成序列 B,那么我们认为 A 和 B 等价. 对于一个置换 $P$ ,如果

这个计数定理在考虑对称的计数中非常有用 先给出这个定理的描述,虽然看不太懂: 在一个置换群G={a1,a2,a3……ak}中,把每个置换都写成不相交循环的乘积. 设C1(ak)是在置换ak的作用下不动点的个数,也就是长度为1的循环的个数.通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类 那么等价类的个数就等于: 然后理解一下公式 一正方形分成4格,2着色,有多少种方案?其中,经过转动相同的图象算同一方案. 关于转动,一共有四种置换方法,也就是|G|=4 不动(360度):a1=(1)(2)

感觉这两个东西好鬼畜= = ,考场上出了肯定不会qwq.不过还是学一下吧用来装逼也是极好的 群的定义 与下文知识无关.. 给出一个集合$G = \{a, b, c, \dots \}$和集合上的二元运算"$*$",并满足 (1).封闭性:$\forall a, b \in G, \exists c \in G, a * b = c$ (2).结合律:$\forall a, b, c \in G, (a * b) * c = a * (b * c)$ (3).单位元:$\exists e

在 Sublime Text 中编辑以下文件并保存(第一行的注释很重要),按下 Cammand + B 编译: %!TEX program = xelatex \documentclass[UTF8]{ctexart} \begin{document} 这里是中文. \end{document}

原文链接 Both in the glossary and in some of our previous posts we've touched on mining and the two main methods in use today: PoW and PoS. We'll discuss each method in this article, but first we'd like you to read the fundamentals: intro to cryptocurren

目录 引 主要内容 基本的一些定义 卷积层 全连接层 池化层 改写卷积层 假设2.4 引理2.5 假设3.1 假设3.2 引理3.3 定理3.4 定理3.5 推论3.6 假设4.1 引理4.2 引理4.3 定理4.4 定理4.5 Proof 引理A.1 引理2.5 证明 引理3.3 定理3.4 引理D.1 定理3.5 推论3.6 引理4.2 引理4.3 定理4.5 Nguyen Q C, Hein M. Optimization Landscape and Expressivity of Dee

1. 证明满足 (6) 的范数可以由一个内积诱导出来. 这个结论属于 von Neumann. 证明: 以实线性空间为例, 取内积 $$\bex \sex{x,y}=\cfrac{1}{4}[\sen{x+y}^2-\sen{x-y}^2], \eex$$ 则 $\sex{x,y}$ 为内积, 且 $\sex{x,x}^\frac{1}{2}=\sen{x}$. 2. 证明内积连续地依赖于它的因子, 即若 $x_n\to x$, $y_n\to y$ (这意味着 $\sen{x_n-x}\to

摘要:RRCF是亚马逊发表的一篇异常检测算法,是对周志华孤立森林的改进.但是相比孤立森林,具有更为扎实的理论基础.文章的理论论证相对较为晦涩,且没给出详细的证明过程.本文不对该算法进行详尽的描述,仅对其中的关键定理或引理进行证明. Theorem 1: 对于点集S构成的树RCF(S),假设S的bounding box的边长为P(S),一次切分分离x1和x2的概率为. 注意到,切分后,任意一边的bounding box的边长的减少量的期望值为,该期望值满足如下不等式: 因此,每一次切分导致的新子集

本篇口胡写给我自己这样的什么都乱证一通的口胡选手 以及那些刚学Matrix-Tree,大致理解了常见的证明但还想看看有什么简单拓展的人- 大概讲一下我自己对Matrix-Tree定理的一些理解.常见版本的证明.我自己的证明,以及简单的一些应用(比如推广到有向图.推广到生成树边权的乘积和什么的,非常基础). 应该看到这里的人都知道Matrix-Tree定理是干什么的吧-就是统计一个无向图的生成树个数,表示成一个行列式. 1.前置定义及性质 首先是Matrix-Tree定理相关的定义:对于一个无向图

Proof of Hammersley-Clifford TheoremProof of Hammersley-Clifford Theorem依赖知识定义1定义2证明过程反向证明(吉布斯分布=>MRF)正向证明(MRF=>吉布斯分布)证明第一点证明第二点疑问点​ 最近看语义分割论文DeepLab,有使用全连接CRF恢复局部的细节信息,提升分割精度.又回去复习了下CRF,仍然有一个问题很困扰: “根据Hammersley Clifford定理,一个无向图模型的概率可以表示为定义在图上所有最大团

目录 写在前面 一类反演问题 莫比乌斯反演 快速莫比乌斯变换(反演)与子集卷积 莫比乌斯变换(反演) 子集卷积 二项式反演 内容 证明 应用举例 另一形式 斯特林反演 第一类斯特林数 第二类斯特林数 反演公式 最值反演( \(\text{min-max}\) 容斥) 公式 证明 拉格朗日插值法 简介 求解 自然数的幂的前缀和 问题提出 问题解决 代码实现 写在前面 这是继数论和组合计数类数学相关与多项式类数学相关后的第三篇数学方面内容总结.主要记录自己近期学习的一些数学方法.内容比较杂,同时也起

题目来源:UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) 题意:n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转 [分析] 要开始学置换了. 置换是什么呢?  置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义: 在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射:在有限集的情况,便与上述定义一致. 在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏.例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中

[原] E.J.Hoffman; J.C.Loessi; R.C.Moore The Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory *[译]* EXP 2017-12-29 注意 由于原文使用了"m皇后"进行描述,所以本文从现在开始也使用"m皇后"进行描述. 我这里就不调整为大多数人习惯的"n皇后"了,避免某些数学公式参数混淆. *[写在前面]* 这是现在网上流传的一套关于M皇后问题的构造

写这篇日志是拖了很久的事情,以前说要写些算法相关的文章给想学信息安全学(简称信安),密码学的同学提供些入门资料,毕竟这种知识教师上课也不会细讲太多(纯理论偏重),更不用说理解和应用了,说到RSA公钥(yue)算法的认识,我最早是在32个计算机中的重要算法中看到的,不过在后来自己查阅数学建模和算法导论上分别看到了其实现和说明,只可惜对数学部分的解释基本没有,可能这部分数论知识证明出来的意义不大(因为就算你不懂,记住公式也懂用),就算是我在实际应用中也是挑选特殊情况的欧拉函数以及内置特定素数生成来应