首先需要知道两个定理: 1: 费马小定理: 假如p是素数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p). 2:二次探测定理:如果p是素数,x是小于p的正整数,且,那么要么x=1,要么x=p-1. 证明:这是显然的,因为相当于p能整除,也即p能整除(x+1)(x-1). 由于p是素数,那么只可能是x-1能被p整除(此时x=1) 或 x+1能被p整除(此时x=p-1). 接着 如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立,Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试,而是

题目链接:http://poj.org/problem?id=1811 题目解析:2<=n<2^54,如果n是素数直接输出,否则求N的最小质因数. 求大整数最小质因数的算法没看懂,不打算看了,直接贴代码,以后当模版用. 数据比较大,只能先用Miller_Rabin算法进行素数判断. 在用Pollard_rho分解因子.   #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include

\(Miller-Rabin\)​素数测试 用途 判断整数\(n\)是否是质数,在\(n\)较小的情况下,可以使用试除法,时间复杂度为\(O(\sqrt n)\).但当\(n\)的值较大的时候,朴素的试除法已经不能在规定时间内解决问题.此时,我们可以用\(Miller-Rabin\)素数测试算法,时间复杂度可以降低至\(O(\log_2n)\). 引理 费马小定理 若\(a,p \in \mathbb{Z}\),\(p\)为质数,则 \[ a^{p-1} \equiv 1(mod\;p) \]

用来干嘛的 ​   要判断一个数 \(n\) 是否为素数,最朴素直接的办法是以\(O(\sqrt n)\) 时间复杂度地从2到 \(\sqrt n\) 循环即可得到最准确的结果.但是如果在 \(n\) 比较大的情况下,时间花销就太大了.这时,我们可以选择牺牲一点点准确度,使用可爱的米勒-拉宾(Miller-Rabin)素性检验算法来判断质数.根据百度百科,使用快速幂运算,这个算法的时间复杂度是 \(O(k\log^3 n)\)的,\(k\)是我们设定对一个数的进行测试的次数.\(k\) 越大,判

额,我们今天来讲一讲Miller-Rabin素性测试算法. 读者:怎么又是随机算法!!!(⊙o⊙)… [好了,言归正传] [费马小定理] 费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael Carmichael数是非常少的. 在1~100000000范围内的整数中,只有255个Carmichael数. 为此又有二次探测定理,以确保该数为素数. 这就构成了Miller-Rabin的基本原理 ╰(￣▽￣)╭ [二次探测定理] 二次探测定理 如果p是一个素数,0<x<p,则

前言 \(MillerRabin\)素数测试是一种很实用的素数判定方法. 它只针对单个数字进行判定,因而可以对较大的乃至于\(long\ long\)范围内的数进行判定,而且速度也很快,是个十分优秀的算法. 前置定理 费马小定理:\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)(详见此博客:费马小定理) 二次探测定理:若\(p\)为奇素数且\(x^2\equiv1(mod\ p)\),则\(x\equiv1(mod\ p)\)或\(x\equiv p-1(mod\ p)\). 大致思路 假设

链接:传送门 题意:题目给出费马小定理:Fermat's theorem states that for any prime number p and for any integer a > 1, ap = a (mod p). 我们知道Miller-Rabin素数测试的算法原理就是基于费马小定理的,因为我们在测试底数的时候只是随机一些 a ,所以可能有的合数就脸一白通过了测试,于是就产生了伪素数这一概念,现在给你一对 p and a,判断 p 是否是以 a 为基的伪素数 思路:对于素数来说是不

Miller-Rabin素数测试 给出一个小于1e18的数,问它是否为质数?不超过50组询问.hihocoder 我是真的菜,为了不误导他人,本篇仅供个人使用. 首先,一个1e18的数,朴素\(O(\sqrt{n})\)素数判定肯定爆炸.怎么办呢? 我们知道,对于素数p,只要a不是p的倍数,一定有\(a^{p-1}=1\mod p\).那么,我们是不是可以选出某些a,对于要判定的数p,看看他是否满足以a为底的费马小定理,以此来判定质数呢?答案是基本可以. 但是很不巧,有一类合数,以任何小于它们的

Miller-Rabin素数检测算法 其基于以下两个定理. Fermat小定理 若n是素数,则∀a(a̸≡0(modn))\forall a(a \not\equiv 0 \pmod{n})∀a(a̸​≡0(modn)),有an−1≡1(modn)a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}an−1≡1(modn). 二次探测定理 若n是素数,则x2≡1(modn)x^2 \equiv 1 \pmod{n}x2≡1(modn)只有平凡根x=±1x=\pm1x=±1,即x=1,x=n−1x=

1.Miller-Rabin是干啥的?它是用来检测一个数字(一般是很大的数字)是不是素数: 2.Miller-Rabin算法基于的两个定理: (1)费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n 很可能是素数. (2)二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1

一.RSA与公钥加密系统的起源与影响. 为了更好地突出公钥加密系统相对私钥加密系统的优势,让我们从这两个问题开始: 这个世界上如果没有公钥加密系统会怎么样呢?全用私钥加密系统会出现什么问题呢? 首先,私钥密码系统中的密码,加密解密之间是存在共享性的,也就是说,会加密就能做到会解密,会解密也就能做到会加密. 如果私钥密码系统用来做数字签名,会发生什么呢?你只要告诉了别人验证你的数字签名的正确性方法(解密),就同时告诉了他们伪造这个数字签名的方法(加密).瞬间爆炸Orz. 其次,私钥加密系统需要有一

//**************************************************************** // Miller_Rabin 算法进行素数测试 //速度快,而且可以判断 <2^63的数 //**************************************************************** ;//随机算法判定次数,S越大,判错概率越小 LL mult_mod(LL a,LL b,LL mod) //(a*b)%c a,b,c<

在以往判断一个数n是不是素数时,我们都是采用i从2到sqrt(n)能否整除n.如果能整除,则n是合数;否则是素数.但是该算法的时间复杂度为O(sqrt(n)),当n较大时,时间性能很差,特别是在网络安全和密码学上一般都是需要很大的素数.而从目前来看,确定性算法判断素数的性能都不好,所以可以用MC概率算法来解决,其中Miller Rabin算法就是其中的很经典的解决方法.下面首先介绍下相关的数学理论. 数学原理 Fermat小定理:若n是素数,则对所有1≤a≤n-1的整数a,有a^(n-1)mod

遇到了一个题: Description: Goldbach's conjecture is one of the oldest and best-known unsolved problems in number theory and all of mathematics. It states: Every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of two primes. The actual verification

算法简介 Miller-Rabin算法,这是一个很高效的判断质数的方法,可以在用\(O(logn)\) 的复杂度快速判断一个数是否是质数.它运用了费马小定理和二次探测定理这两个筛质数效率极高的方法. 费马小定理判质数 \(a^{p - 1}\ ≡\ 1\ mod\ p\) 这个定理在 \(p\) 为质数的时候是成立的,所以我们可以如果要判断 \(p\) 是否是质数,可以 \(rand\) 几个 \(a\) 值然后照着这个式子来算,如果算出来不是 \(1\) 那说明 \(p\) 一定不是质数. 但

本题涉及的算法个人无法完全理解,在此提供两个比较好的参考. 原理 (后来又看了一下,其实这篇文章问题还是有的……有时间再搜集一下资料) 代码实现 #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; #define ll

细节挺多的.. #include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<ctime> using namespace std; typedef long long ll; ll mul(ll a,ll b,ll mod) { ll ret = 0ll; a %= mod; while( b ) { if ( b & 1ll ) ret = ( ret + a ) % mod, b-

这个感觉还是挺好理解的,就是复杂度证明看不懂~ Code: #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) int array[10]={2,3,5,7,11,13,17,23}; using

Miller-Rabin 素性测试 Miller-Rabin 素数测试 一本通上的M-R不透彻啊~ Miller-Rabin是利用随机化算法判断一个数是合数还是素数. 首先,如果一个数N是素数,那么他一定满足费马小定理. \(a^{N-1}\equiv1\pmod N\) 我们可以任取数字a,计算这个式子的值来判断N是否为素数. 但是这么做不靠谱啊,有很多合数会被卡~ 我们介绍一个相关的引理. 当p是素数且p大于2时,\(1\bmod p\)的平方根只有1和-1. 证明: 假设x是\(1\bmo

#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; long long mul(long long a,long long n,long long mo){ ; while (n){ ) ans=(ans+a)%mo; a=(a+a)%mo; n/=; } return ans;