前言 杜教筛学了,顺便把min25筛也学了吧= =刚好多校也有一道题需要补. 下面推荐几篇博客,我之后写一点自己的理解就是了. 传送门1 传送门2 传送门3 这几篇写得都还是挺好的,接下来我就写下自己对min25筛的理解吧 . 正文 简介: min25筛同杜教筛类似,是用来解决一类积性函数的前缀和,即\(\sum_{i=1}^nF(i)\),并且这里的\(n\)可以达到\(10^{10}\)的规模. 但所求积性函数要求满足以下条件: \(F(p)\)可以表示为简单多项式的形式,比如\(p_1^{

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1066(题目传送) (题解)https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1066: 首先普及一下知识:一个2^k进制n位数转换成2进制数时最多有n*k位:一个n进制数的每位数字属于集合{0,1,……,n-1}. 这样我们就知道给出w.k后r的位数最多为wei=w/k向上取整,但要注意,如果w%k有余,则r在最高位上不能把集合{0,1,……,n-1}的数都取一遍. 又知道r的位

题目链接 题意 输入一个整数\(n\)\((n\leq 1e6)\),设\(f(x)=\sum_{i=1}^n x\mod i\),你需要输出\(f(1),f(2)...,f(n)\). 输入输出格式 输入格式: 一个正整数n. 输出格式: 一行用空格分隔的n个整数\(f(1),f(2)...f(n)\). 输入输出样例 输入样例#1: 10 输出样例#1: 9 16 22 25 29 27 29 24 21 13 思路 列表 \i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x mod i\ x

BM求线性递推模板(杜教版) BM求线性递推是最近了解到的一个黑科技 如果一个数列.其能够通过线性递推而来 例如使用矩阵快速幂优化的 DP 大概都可以丢进去 则使用 BM 即可得到任意 N 项的数列元素 参考博客 : 暂时没有. 找到了一个.希望你能看懂吧.click here 以下是 2018 焦作网络赛 L 题 AC 代码.可做模板 #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define rep(i,a,n) for (long long i=a;i<n;i++) #define per(i,a,n) for (long long i=n-1;i>=a;i--) #define pb push_back #define mp make_pair #define all(x) (x).begin(),(x).end() #define fi first #def

先定义几个符号: []:若方括号内为一个值,则向下取整,否则为布尔判断 集合P:素数集合. 题目分析: 题目是一个积性函数.做法之一是洲阁筛,也可以采用Min_25筛. 对于一个可以进行Min_25筛法的积性函数,它需要满足与洲阁筛相同的条件,即: 对于$f(p), p \in P$,它可以多项式表出.对于$f(p^k),p \in P$可以被快速计算出. 这道题中$f(p) = p-1$再对$2$进行修正即可. 对于1的情况我们单独考虑,现在我们对答案进行一些变换. $$\sum_{i=2}^

Min_25 筛这个东西,完全理解花了我很长的时间,所以写点东西来记录一些自己的理解. 它能做什么 对于某个数论函数 \(f\),如果满足以下几个条件,那么它就可以用 Min_25 筛来快速求出这个函数的前缀和. 它是一个积性函数 对于一个质数 \(p\) ,\(f(p)\) 的表达式必须是一个项数比较小的多项式.即 \(\displaystyle f(p) = \sum a_ip^{b_i}\). 对于一个质数 \(p\) ,\(f(p^k)\) 的表达式必须可以由 \(f(p)\) 快速得到

感觉好好用啊 Luogu上的杜教筛模版题一发 Min_25抢到了 rank1 $ Updated \ on 11.29 $被 STO txc ORZ踩爆啦 前言 $ Min$_$25$筛可以求积性函数的前缀和 要求$ f(p_i)为一个多项式,f(p_i^{k_i})可以快速计算$ 以下部分暂时忽略$ 1$,即只考虑最小质因子$ \geq 2$的那些数 先考虑素数贡献 我们定义$ sp(n)$表示$\sum\limits_{i=1}^n f(p_i)$即前$ n$个素数的积性函数和 这里我们先假

题意 求 \([L, R]\) 之间的素数之和 . \(L≤10^{10},2×10^{10} \le R \le 10^{11}\) 题解 一个有点裸的 min_25筛 ? 现在我只会筛素数的前缀和 , 合数的过几天再学吧 . 首先推荐一波 yyb大佬博客 这个人很强 , 别那么fake就好啦 令 \(F(x) = x\) 显然此处 \(F(x)\) 是完全积性函数 . 我们需要求的就是 \[\displaystyle \sum_{i=1}^{n} [i \in Prime] F(i)\] .

P5325 [模板]Min_25筛 题目背景 模板题,无背景. 题目描述 定义积性函数$f(x)$,且$f(p^k)=p^k(p^k-1)$($p$是一个质数),求 $$\sum_{i=1}^n f(x)$$ 对$10^9+7$取模. 输入输出格式 输入格式: 一行一个整数$n$. 输出格式: 一个整数表示答案. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 10 输出样例#1: 复制 263 输入样例#2: 复制 1000000000 输出样例#2: 复制 710164413 说明 $f(1)=1,f(

杜教筛 适用条件 你要能构造出\(g(x),h(x)\),使得\(h=f*g\). \(G(x),H(x)\)的值可以快速计算. 过程 我们要求的是\(F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\),现在有\(h=f*g\),\(G(x),H(x)\)分别为\(g(x),h(x)\)的前缀和. \[ \begin{aligned} H(n)=&\sum_{i=1}^{n}h(i)\\ =&\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)\\ =&am

前言 本篇文章中使用的字母\(p\),指\(\text{任意的} p \in \text{素数集合}\) 应用场景 若函数\(f(x)\)满足, \(f(x)\)是积性函数 \(f(p)\)可以使用多项式表示. 已知\(f(p)\),要能在常数级的时间内计算\(f(p^x),x \in N^+\). Min_25筛可以在\(\Theta(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{log_2n})\)的时间复杂度内计算\(f(x)\)的前缀和 或者说\(\Theta(n ^ {1 - \eps

  赛上想写,Track Lost 了属于是. \(\mathscr{Intro}\)   Min_25 筛是用于求积性函数前缀和,同时顺带求出一些"有意思"的信息的筛法.   一些记号约定 \(\mathbb P\) 为素数集,对于以 \(p\) 为记号的数,有 \(p\in\mathbb P\). \(p_i\) 表示第 \(i\) 小的素数.特别地,\(p_0=1\). \(\newcommand{\lpf}[0]{\operatorname{lpf}} \lpf(n)\) 表示

杜教筛 \(\) 是 \(\) 的前缀和,\(\), \(\) 同理. 假设 \( × = ℎ\) ,并且 \(, \) 易求出,\(\) 难求出. 那么 \[H () = \sum_{ \cdot ≤} () () = \sum_{≤} () (\frac {} {})\\ = f(1)\cdot () + \sum_{2≤≤} () (\frac {} {})\] 有: \[f(1)\cdot G(n)=H(n)-\sum_{2≤≤} () (\frac {} {}) \] 整除分块,可以在

题目大意 给你 \(n,m\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_m=1}^i\operatorname{lcm}(\gcd(i,x_1),\gcd(i,x_2),\ldots,\gcd(i,x_m)) \] 对 \({10}^9+7\) 取模. \(nm\leq {10}^9\) 题解 先推一下式子: \[ ans=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_m=1}^i\operatorname{lcm}(\gcd(i,

题目描述 记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数. 给你\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \] 对\(2^{32}\)取模. \(n\leq {10}^9,k\leq 50\) 题解 记\(f(n)\)为\(n\)的次大因数 显然\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\) 先推一波式子. \[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k\\ =&a

min_25 筛是由 min_25 大佬使用后普遍推广的一种新型算法,这个算法能在 \(O({n^{3\over 4}\over log~ n})\) 的复杂度内解决所有的积性函数前缀和求解问题(个人感觉套上素数定理证明的复杂度的话应该要把下面的 log 改成 ln ,不过也差不多啦~) 其实 min_25 筛的入门TXC 大佬的 blog 已经写的非常棒了QVQ 所以搬博客的话鉴于博主太懒了就不干了...直接帮 TXC 大佬安利博客完事 这篇博客主要的目的是证明网上大多没有的 min_25 筛

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1222.html 题意 给定 $a,b$, 求 $$\sum_{n=a}^b \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i [{\rm lcm } (i,j) = n]$$ $$a,b\leq 10^{11}$$ $${\rm Time \ Limit } = 6s$$ 题解 本题做法很多. Min_25 筛 先差分一下,转化成求前缀和. 先把原题的统计无序数对转化成统计有序数对,最终 $an

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,

题目:https://loj.ac/problem/6053 min_25筛:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html 这里把计算 s( n , j ) 需要的“质数部分的贡献”分成两部分算,令 \( g(n,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i \in P or min_i > p_j]i \) , \( h(n,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i \in P or min_i > p_j]1 \) ,其中 P

题目大意:给你玩一个一维版的消灭星星,得分是当前消去的区间的长度的平方,求最大得分. 现在分析一下题目 因为得分是长度的平方,不能直接累加,所以在计算得分时需要考虑前一个状态所消去的长度,仅用dp[l][r]来表示区间最大得分是不足以用来转移的. 我们的解决方法是:增加一维预测未来可能会出现的情况,用dp[l][r][t]表示区间[l,r]之后附加t个与r同色的方块时所能得到的最大值.为了降低时间复杂度,我们可以在读入时处理一下,将一段长度为a.颜色为b的区间k表示成一个len[k]=a,col