\(\color{#0066ff}{题 目 描 述}\) 给定一个正整数\(N(N\le2^{31}-1)\) 求 \(\begin{aligned} ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i) \end{aligned}\) \(\begin{aligned} ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i) \end{aligned}\) \(\color{#0066ff}{输 入 格 式}\) 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N

传送门 分析 我们知道 $\varphi * 1 = id$ $\mu * 1 = e$ 杜教筛即可 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<algorithm> #include<cctype> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<

杜教筛 浅谈一类积性函数的前缀和 - skywalkert's space - CSDN博客 杜教筛可以在\(O(n^{\frac 23})\)的时间复杂度内利用卷积求出一些积性函数的前缀和. 算法 给定\(f(n)\), 现要求\(S(n)=\sum_{i=1}n f(i)\). 定义卷积运算 \((f*g)(n) = \sum_{d | n} f(d) g(\frac{n}{d})\). 如果存在\(g(n)\), 满足\(f*g=h\), 且\(g\)和\(h\)都能 \(O(1)\) 求

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4213 同 bzoj3944 考虑用杜教筛求出莫比乌斯函数前缀和,第二问随便过,第一问用莫比乌斯反演来做,中间的整除分块里的莫比乌斯前缀和刚好用第二问来做 杜教筛的时候先线性筛出前 N 个数的莫比乌斯函数前缀和,其余的用 map 记忆化搜索,实测 N 取 3670000 最佳(其实我只测了3次) #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef unsign

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int maxn = 3e6 + 3; int t, n, cnt; bool v[maxn]; short mu[maxn]; int isp[maxn], phi[maxn]; LL sum1[maxn]; int sum2[maxn]; unordered_map<int,LL> dp1; unordered_map<int

P4213 [模板]杜教筛(Sum) 题目描述 给定一个正整数$N(N\le2^{31}-1)$ 求 $$ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$$ $$ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)$$ 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2333 输出样例#1

1222 最小公倍数计数 题意:求有多少数对\((a,b):a<b\)满足\(lcm(a,b) \in [1, n]\) \(n \le 10^{11}\) 卡内存! 枚举\(gcd, \frac{a}{gcd}, \frac{b}{gcd}\),然后\(\mu\)代入,就是 \[ \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d) \sum_i \sum_j \sum_k [ijk \le \frac{n}{d^2}] \] 问题就是怎么求后面的式子了 一开始我是 \[ f(n) = \s

题目大意:给你$n$,求:$$\sum\limits_{i=1}^n\varphi(i),\sum\limits_{i=1}^n\mu(i)$$最多$10$组数据,$n\leqslant2^{31}-1$ 题解:杜教筛,用来求$\sum\limits_{i=1}^nf(i)$的,其中$f$是某个特殊函数. 若我们可以找到一个函数$g$,使得$g,f*g$两个函数的前缀和十分好算($g*f$表示$g$和$f$的狄利克雷卷积),就可在$O(n^{\frac 23})$的复杂度内求出我们要的东西.令$

思路:杜教筛 提交:\(2\)次 错因:\(\varphi(i)\)的前缀和用\(int\)存的 题解: 对于一类筛积性函数前缀和的问题,杜教筛可以以低于线性的时间复杂度来解决问题. 先要构造\(h=f*g\),并且\(h\)的前缀和易求,\(g\)的区间和易求. 具体地: \[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)\cdot f(\frac{i}{d})\] \[\sum_{i=1}^{n}h(i)=\sum_{d=1}^{n}g(d)\

BZOJ3944: Sum(杜教筛模板) 题面描述 传送门 题目分析 求\(\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\)和\(\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)\) 数据范围线性不可做. 需要使用杜教筛. 杜教筛可以在非线性时间里求出一个积性函数的前缀和. 借这里先写一些杜教筛内容...或许以后会补总结(雾 最开始扔积性函数: \(\mu(n)\),莫比乌斯函数 \(\phi(n)\),欧拉函数. \(d(n)\),约数个数. \(\sigma(n)\),约数和函数. \(\eps

当作杜教筛的笔记吧. 杜教筛 要求一个积性函数$f(i)$的前缀和,现在这个东西并不是很好算,那么我们考虑让它卷上另外一个积性函数$g(i)$,使$(f * g)$的前缀和变得方便计算,然后再反推出这个$f$函数的前缀和. $$\sum_{i = 1}^{n}(f * g)(i) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d | i}g(d)f(\frac{i}{d}) = \sum_{d = 1}^{n}g(d)\sum_{i = 1}^{\left \lfloor \frac{n}{d

题面: 传送门 就是让你求$ \varphi\left(i\right) $以及$ \mu\left(i\right) $的前缀和 思路: 就是杜教筛的模板 我们把套路公式拿出来: $ g\left(1\right)S\left(n\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(g\ast f\right)\left(i\right)-\sum_{i=2}^{n}g\left(i\right)S\left(\frac ni\right) $ 其中函数$f$分别为$\varphi$以及$\

链接 luogu 思路 为了做hdu来学杜教筛. 杜教筛模板题. 卡常数,我加了register居然跑到不到800ms. 太深了. 代码 // luogu-judger-enable-o2 #include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int _=5000030; int vis[_],pri[_],cnt,N,limit,mu[_]; ll phi[_]; unordered_map<i

题目描述 给定一个正整数N(N\le2^{31}-1)N(N≤231−1) 求ans_1=\sum_{i=1}^n\phi(i),ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)ans1​=∑i=1n​ϕ(i),ans2​=∑i=1n​μ(i) 输入输出格式 输入格式: 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例 输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2

传送门 Description 给定一个正整数\(N(N\le2^{31}-1)\) 求 \[ans1=\sum_{i=1}^n \varphi(i)\] \[ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)\] Solution 总算是写了一个不会\(TLE\)的杜教筛,不想用\(map\),因此上了一个很丑的\(Hash\)-- Code #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define max(a,b) ((a)>(b)?(

[BZOJ3944]Sum(杜教筛) 题面 求\[\sum_{i=1}^n\mu(i)和\sum_{i=1}^n\phi(i)\] 范围:\(n<2^{31}\) 令\[S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\] 随便找个函数\(g\)和\(\mu\)做狄利克雷卷积 \[(g*\mu)(i)=\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})\] 对这个玩意求前缀和 \[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu(d)g(\frac{i}{d})\] 把\(d\)给提出

入门杜教筛啦. http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009(好文!) 可以在$O(N^{\frac{2}{3}})或O(N^{\frac{3}{4}})$的复杂度内解决求某些数论函数f(n)(或f的前缀和S(n)$)的值. 先来看看原理是什么.(接下来推导如何求数论函数f(n)的前缀和S(n)) 现在有两个数论函数$f( )和g( )$ (同时定义f的前缀和函数$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$) 有狄利克雷乘

Description: 求 $ \sum_{i=1}^n \phi(i) ,\sum_{i=1}^n \mu(i)$ Hint: \(n<=10^{10}​\) Solution: 考虑积性函数 \(f,g,h​\) 及其前缀和 \(F,G,H​\) 其中 \(h=f*g​\) 首先 \(H(x)=\sum_{n=1}^xh(n)\) \(=\sum_{n=1}^x \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})\) 枚举倍数转枚举因数 \(=\sum_{k=1}^x \sum_

3944: Sum Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 3471  Solved: 946[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问   Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2   Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Outpu

3944: Sum Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 6201  Solved: 1606[Submit][Status][Discuss] Description   Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问   Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2   Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Outp