插值法的伟大作用我就不说了.... 那么贴代码? 首先说一下下面几点: 1. 已有的数据样本被称之为 "插值节点" 2. 对于特定插值节点,它所对应的插值函数是必定存在且唯一的(关于这个的证明我暂时不说了,如果哪天我回头看看我的blog有点寒碜,我再再补上) 也就是说对于同样的插值样本来说,用不同方法求得的插值函数本质上其实是一样的. 3. 拉格朗日插值法依赖于每个插值节点对应的插值基函数,也就是说每个插值节点都有对应的插值基函数. 4. 拉格朗日插值函数最终由所有插值节点中每个插值节

#拉格朗日插值代码 import pandas as pd #导入数据分析库Pandas from scipy.interpolate import lagrange #导入拉格朗日插值函数 inputfile = '../data/catering_sale.xls' #销量数据路径 outputfile = '../tmp/sales.xls' #输出数据路径 data = pd.read_excel(inputfile) #读入数据 data[u'销量'][(data[u'销量'] < 4

#-*— coding:utf-8 -*- #Program 0.3 Lagrange Interpolation import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import scipy as np import random #随机生成10个介于(-255,255)的结点 def getdata(): a = np.zeros(10, np.double) b = np.zeros(10, np.double) for i in rang

[洛谷5437][XR-2]约定(拉格朗日插值) 题面 洛谷 题解 首先发现每条边除了边权之外都是等价的,所以可以考虑每一条边的出现次数. 显然钦定一条边之后构成生成树的方案数是\(2*n^{n-3}\).可以直接\(purfer\)序列算. 也可以发现每一条边的出现次数相等,树的总数是\(n^{n-2}\),每次出现\(n-1\)条边,每条边又是等价的. 也可以算出上面这个值. 于是要算的东西就变成了 \[\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n(i+j

1. 数学原理 对某个多项式函数有已知的k+1个点,假设任意两个不同的都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为: 其中每个lj(x)为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为: 2. 轻量级实现 利用 直接编写程序,可以直接插值,并且得到对应的函数值.但是不能得到系数,也不能对其进行各项运算. def h(x,y,a): ans=0.0 for i in range(len(y)): t=y[i] for j in range(len(y)): if i !=j:

今天在搞定Django框架的blog搭建后,尝试一下python的科学计算能力. python的科学计算有三剑客:numpy,scipy,matplotlib. numpy负责数值计算,矩阵操作等: scipy负责常见的数学算法,插值.拟合等: matplotlib负责画图. 首先,百度上头三个,依次安装. 可以考虑使用pyhton34/script/easy-install 工具: easy-insatll -m matplotlib; 尝试一下代码,拟合实例:                

今天在搞定Django框架的blog搭建后,尝试一下python的科学计算能力. python的科学计算有三剑客:numpy,scipy,matplotlib. numpy负责数值计算,矩阵操作等: scipy负责常见的数学算法,插值.拟合等: matplotlib负责画图. 首先,百度上头三个,依次安装. 可以考虑使用pyhton34/script/easy-install 工具: easy-insatll -m matplotlib; 尝试一下代码,拟合实例:  1 # -*- coding

题意 题目描述 由小学知识可知,$n$个点$(x_i,y_i)$可以唯一地确定一个多项式 现在,给定$n$个点,请你确定这个多项式,并将$k$代入求值 求出的值对$998244353$取模 输入输出格式 输入格式: 第一行两个正整数$n,k$,含义如题 接下来$n$行,每行两个正整数$x_i,y_i$,含义如题 输出格式: 一个整数表示答案 输入输出样例 输入样例#1: 复制 3 100 1 4 2 9 3 16 输出样例#1: 复制 10201 输入样例#2: 复制 3 100 1 1 2 2

全域多项式插值指的是在整个插值区域内形成一个多项式函数作为插值函数.关于多项式插值的基本知识,见“计算基本理论”. 在单项式基插值和牛顿插值形成的表达式中,求该表达式在某一点处的值使用的Horner嵌套算法啊,见"Horner嵌套算法". 1. 单项式(Monomial)基插值 1)插值函数基 单项式基插值采用的函数基是最简单的单项式:$$\phi_j(t)=t^{j-1}, j=1,2,...n;\quad f(t)=p_{n-1}(t)=x_1+x_2t+x_3t^2+...x_n

模板题. 拉格朗日插值的精髓在于这个公式 $$f(x) = \sum_{i = 1}^{n}y_i\prod _{j \neq i}\frac{x - x_i}{x_j - x_i}$$ 其中$(x_i, y_i)$是给定的$n$个点值. 代入任何一个给定的点值坐标$x_k$,都会发现这个式子等于$y_k$成立,因为对于任何$i \neq k$,后面的系数都至少有一项为$0$,而当$i == k$的时候,后面那一项一定为$1$,这样子就可以保证代进去的点值一定被满足. 因为题目中要求直接代入$x

传送门 题意: 求\[ \sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(i,n)=1] \] 思路: 我们对上面的式子进行变换,有: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n}i[gcd(i,n)=1]\\ =&\sum_{i=1}^{n}i\sum_{x|gcd(i,n)}\mu (x)\\ =&\sum_{i=1}^n i\sum_{x|i,x|n}\mu(x)\\ =&\sum_{x|n}\mu(x)x^d\sum_{i=1}^{\frac{n}

[模板]拉格朗日插值 题目描述 由小学知识可知,$n$个点$(x_i,y_i)$可以唯一地确定一个多项式 现在,给定$n$个点,请你确定这个多项式,并将$k$代入求值 求出的值对$998244353$取模 说明 $n \leq 2000 \; \; \; x_i,y_i,k \leq 998244353$ 自为风月马前卒的分析 拉格朗日插值法 众所周知,\(n + 1\)个\(x\)坐标不同的点可以确定唯一的最高为\(n\)次的多项式.在算法竞赛中,我们常常会碰到一类题目,题目中直接或间接的给出

常系数齐次线性递推 具体记在笔记本上了,以后可能补照片,这里稍微写一下,主要贴代码. 概述 形式: \[ h_n = a_1 h_{n-1}+a_2h_{n-2}+...+a_kh_{n-k} \] 矩阵乘法是\(O(k^3 \log n)\) 利用特征多项式可以做到\(O(k^2\log n)\) 特征多项式 特征值和特征向量 特征多项式 \[ f(\lambda) = \mid M - \lambda I\mid \] 是关于\(\lambda\)的\(n\)次多项式 根据\(Cayley-

传送门 题面图片真是大到离谱-- 题目要求的是 \(\begin{align*}\sum\limits_{i=1}^N i^d[gcd(i,n) == 1] &= \sum\limits_{i=1}^N i^d \sum\limits_{p \mid gcd(i,n)} \mu(p) \\ &= \sum\limits_{p|n} \mu(p) p^d \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{p}} i^d\end{align*}\) 然后就不会做了qwq,后面的自然数次幂

题目大意 ​ 一个序列\(a_1,\ldots,a_n\)是合法的,当且仅当: ​ 长度为给定的\(n\). ​ \(a_1,\ldots,a_n\)都是\([1,m]\)中的整数. ​ \(a_1,\ldots,a_n\)互不相等. ​ 一个序列的值定义为它里面所有数的乘积,即\(a_1\times a_2\times\cdots\times a_n\). 求所有不同合法序列的值的和. ​ 两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样. ​ 输出答案对一个数\(p\)取余的结果. \(n\leq50

BZOJ 洛谷 题意的一点说明: \(k\)次方这个\(k\)是固定的,也就是最初需要多少张亵渎,每次不会改变: 因某个怪物死亡引发的亵渎不会计分. 不难发现当前所需的张数是空格数+1,即\(m+1\). 贡献不妨写成:\(\sum_{i=1}^ni^{m+1}-\sum_{i=1}^mA_i^{m+1}\).注意此时的\(A_i\)是剩下的空格(具体看代码最底下的暴力部分吧). 所以问题在于求\(\sum_{i=1}^ni^{m+1}\).自然数幂和有很多种求法. 这里写插值做法: \(\su

传送门 题意简述:问有多少数列满足如下条件: 所有数在[1,A][1,A][1,A]之间. 没有相同的数 数列长度为nnn 一个数列的贡献是所有数之积,问所有满足条件的数列的贡献之和. A≤1e9,n≤500A\le1e9,n\le500A≤1e9,n≤500 思路: 肯定不能枚举所有情况. 我们先规定这个数列满足a1<a2<⋅˙⋅⋅<ana_1<a_2<\dot\cdot\cdot\cdot<a_na1​<a2​<⋅˙⋅⋅<an​,最后答案乘上n!n

如果打表发现某个数列: 差分有限次之后全为0 例如: 2017新疆乌鲁木齐ICPC现场赛D题 ,,,,,,,,,,…… [2018江苏南京ICPC现场赛也有这样的题目] 那么可以使用以下黑科技计算出第k(1e18)项(对质数取模) (原理: 拉格朗日插值) 预处理复杂度为线性, 每次计算复杂度为: O(传入项数个数)[同样也是线性] 以下代码为内测版, 出锅了fold不背锅, 欢迎指出bug ------------------------下面是模板代码---------------------

[题意]给定k<=123,a,n,d<=10^9,求: $$f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{a+id}\sum_{x=1}^{j}x^k$$ [算法]拉格朗日插值 [题解]参考:拉格朗日插值法及应用 by DZYO 虽然式子很复杂,但一点一点化简有条理的化简后就可以做了. 首先最后是一个自然数幂和: $$\sum_{x=1}^{j}x^k$$ 这是一个k+1次多项式,可以理解为k+一个Σ(一般一个Σ增加一次项). 然后会发现最后部分和第二部分之间不需要插值,因为第

[题意]n位同学(其中一位是B神),m门必修课,每门必修课的分数是[1,Ui].B神碾压了k位同学(所有课分数<=B神),且第x门课有rx-1位同学的分数高于B神,求满足条件的分数情况数.当有一位同学的一门必修课分数不同时视为两种情况不同.n,m<=100,Ui<=10^9. [算法]计数DP+排列组合+拉格朗日插值 [题解]把分数作为状态不现实,只能逐门课考虑. 设$f[i][j]$表示前i门课,有j个同学被碾压的情况数,则有: $$f[i][j]=g(i)\cdot\sum_{k=j

题面 \(n\leq 10^{12},k\leq 100\) 题解 一眼就是一个\(Min\_25\)筛+拉格朗日插值优化,然而打完之后交上去发现只有\(60\)分 神\(tm\)还要用主席树优化-- 大概是这样,设\(g(n,j)\)表示\(1\)到\(n\)之间的所有满足\(i\)是质数或者\(i\)的最小质因子大于\(p_j\)的所有\(f(i)\)之和,我们根据递归地来求解\(g\),设一个阈值\(L=\sqrt{n}\),当\(n\leq L\)的时候,用主席树优化,能做到每一次查询只