用来干嘛的 ​   要判断一个数 \(n\) 是否为素数,最朴素直接的办法是以\(O(\sqrt n)\) 时间复杂度地从2到 \(\sqrt n\) 循环即可得到最准确的结果.但是如果在 \(n\) 比较大的情况下,时间花销就太大了.这时,我们可以选择牺牲一点点准确度,使用可爱的米勒-拉宾(Miller-Rabin)素性检验算法来判断质数.根据百度百科,使用快速幂运算,这个算法的时间复杂度是 \(O(k\log^3 n)\)的,\(k\)是我们设定对一个数的进行测试的次数.\(k\) 越大,判

我们首先看这样一个很简单的问题:判定正整数\(n\)是否为素数 最简单的做法就是枚举\(2\)到\(n\)的所有数,看是否有数是\(n\)的因数,时间复杂度\(O(n)\) 稍微优化一下发现只要枚举\(2\)到\(\sqrt{n}\)中的数就可以了 然后发现数据范围\(n\leq 10^{18}\),时间复杂度直接就死掉了QAQ 我们就要考虑新的方法了 首先引入两个定理 1.费马小定理 如果\(p\)是素数,且\(gcd(a,b)=1\),那么\(a^{p-1}\equiv 1(mod \ n)

PS:本人第一次写随笔,写的不好请见谅. 接触MillerRabin算法大概是一年前,看到这个算法首先得为它的神奇之处大为赞叹,竟然可以通过几次随机数据的猜测就能判断出这数是否是素数,虽然说是有误差率,但是相对于他比其他素数判断的高效,真的是可以说是完美级.那时候忙于找工作,所以也没有细究,现在空下来终于对这个算法有了一定的理解. 先说两个定理: (1) 当x<p时,满足x^(p-1) % p = 1,说明x与p互质: (2) 当x<p时,满足x^2 % p = 1; x的解为 x = 1 或

判断正整数p是否是素数 方法一 朴素的判定   

Prime Test Time Limit: 6000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 29193 Accepted: 7392 Case Time Limit: 4000MS Description Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number. Input The first line contains the num

看一个数是否为质数,我们通常会用那个O(√N)的算法来做,那个算法叫试除法.然而当这个数非常大的时候,这个高增长率的时间复杂度就不够这个数跑了. 为了解决这个问题,我们先来看看费马小定理:若n为素数,a与n互质,则an-1Ξ1(mod n).于是有人想过把它倒过来判断n是否为素数.首先,若a与n不互质,那么n为合数.所以只需要满足an-1Ξ1(mod n)即可,这个a干脆就让它等于2了.即判断2n-1Ξ1(mod n)是否成立.若不成立,那么n必定为合数.但成立时n就是素数吗?又有人找出了个数:

关于素数的基本介绍请参考百度百科here和维基百科here的介绍 首先介绍几条关于素数的基本定理: 定理1:如果n不是素数,则n至少有一个( 1, sqrt(n) ]范围内的的因子 定理2:如果n不是素数,则n至少有一个(1, sqrt(n) ]范围内的素数因子 定理3:定义f(n)为不大于n的素数的个数,则 f(n) 近似等于 n/ln(n) (ln为自然对数) ,具体请参考here 求不超过n的素数                         本文地址 算法1:埃拉托斯特尼筛法,该算法的

GCD & LCM Inverse Time Limit: 2000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 9756Accepted: 1819 Description Given two positive integers a and b, we can easily calculate the greatest common divisor (GCD) and the least common multiple (LCM) of a and b.

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Eddy's research I Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 6664    Accepted Submission(s): 3997 Problem Description Eddy's interest is very extensive, recently he is interested in prime

一些前置知识可以看一下我的联赛前数学知识 如何判断一个数是否为质数 方法一:试除法 扫描\(2\sim \sqrt{n}\)之间的所有整数,依次检查它们能否整除\(n\),若都不能整除,则\(n\)是质数,否则\(n\)是合数. 代码 bool is_prime(int n){ if(n<2) return 0; int m=sqrt(n); for(int i=2;i<=m;i++){ if(n%i==0) return 0; } return 1; } 方法二.线性筛 用 \(O(n)\)

题目大意 给你一个非常大的整数,判断它是不是素数,如果不是则输出它的最小的因子 题解 看了一整天<初等数论及其应用>相关部分,终于把Miller–Rabin和Pollard's rho这两个算法看懂了O(∩_∩)O~~ Miller–Rabin主要用到了费马小定理,即:设p是一个素数,a是一个正整数且p不整除a,则ap-1≡1(mod p).若x=b(n-1)/2,x2=bn-1≡1(mod n),如果n是一个素数,则x≡1(mod n)或者x≡-1(mod n).因此,一旦我们有bn-1≡1

/* 题目:给出一个数 如果是prime 输出prime 否则输出他的最小质因子 Miller Rabin +Poller Rho 大素数判定+大数找质因子 后面这个算法嘛 基于Birthday Paradox 简单点说就是 在 1到100 内去一个数 ai ai==42的概率很小 但是如果取两个数 ai bi ai-bi==42 的概率就会变大 应用到找素因子上 就不用像试除法那样一个一个的试 但是如果枚举ai bi 显然也很slow 那么有一个非常好使(奇怪)的函数 f(x)=x*x+c 这

何为Miller Rabin算法 首先看一下度娘的解释(如果你懒得读直接跳过就可以反正也没啥乱用:joy:) Miller-Rabin算法是目前主流的基于概率的素数测试算法,在构建密码安全体系中占有重要的地位.通过比较各种素数测试算法和对Miller-Rabin算法进行的仔细研究,证明在计算机中构建密码安全体系时, Miller-Rabin算法是完成素数测试的最佳选择.通过对Miller-Rabin 算 法底层运算的优化,可以取得较以往实现更好的性能.[1]  随着信息技术的发展.网络的普及和电

0.1 一些闲话 最近一次更新是在2019年11月12日.之前的文章有很多问题:当我把我的代码交到LOJ上,发现只有60多分.我调了一个晚上,尝试用{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 61, 24251, 2147483647, 998244353}这么一大串数作为基底,然后左改右改,总算过去了.特别感谢 @骗分过样例 的提醒,现在张贴的代码应该是值得信赖的了. 之前我的同学好像就指出过我的文章的很多问题.比如说我之前写到,Miller Rabin在

定义: Miller Rabin算法是一个随机化素数测试算法,作用是判断一个数是否是素数,且只要你脸不黑以及常数不要巨大一般来讲都比\(O(\sqrt n)\)的朴素做法更快. 定理: Miller Rabin主要基于费马小定理: \[a ^ {p-1} \equiv 1 (mod p)\]其中\(p\)是质数. 于是就有闲得没事干的一群科学家们想,这个问题的逆命题是否成立呢? 逆命题:若对于任意\(a\),\(a ^ {p-1} \equiv 1 (mod p)\)都成立,那么\(p\)是质数

在做这道题之前,我们首先来尝试签到题. 签到题 我们定义一个函数:\(qiandao(x)\) 为小于等于 x 的数中与 x 不互质的数的个数.要求 \(\sum\limits _{i=l}^r qiandao(i)\) 容易发现 \(qiandao(x)\) 只需求 \(\phi(x)\),不互质的个数就是另外一半. 那么问题转化为了如何筛出区间 \(\phi\) 的值.考虑到值域最大只有 \(1e12\).并且区间长度小于一百万,所以可以尝试筛根号以内素数求解. 我们知道欧拉函数计算公式为

题目大意 给定两个数a,b的GCD和LCM,要求你求出a+b最小的a,b 题解 GCD(a,b)=G GCD(a/G,b/G)=1 LCM(a/G,b/G)=a/G*b/G=a*b/G^2=L/G 这样的话我们只要对L/G进行质因数分解,找出最接近√(L/G)的因子p,最终结果就是a=p*G,b=L/p,对(L/G)就是套用Miller–Rabin和Pollard's rho了,刚开始Pollard's rho用的函数也是 f(x)=x^2+1,然后死循环了....改成f(x)=x^2+c(c<

本文描述一个python实现的多进程压测工具,这个压测工具的特点如下: 多进程 在大多数情况下,压测一般适用于IO密集型场景(如访问接口并等待返回),在这种场景下多线程多进程的区分并不明显(详情请参见GIL相关).不过一旦出现词表参数加密.返回内容校验等事情的话,多进程对发送效率的提升还是很明显的. 可以指定发送QPS 可以指定发压的QPS,根据并行度和请求相应时间,可以估算出可发送QPS峰值.例如并行度是10,响应时间是100ms,那么QPS峰值应该是(1s/100ms * 10)=100,此

\(Miller Rabin\)总结: 这是一个很高效的判断质数的方法,可以在用\(O(logn)\) 的复杂度快速判断一个数是否是质数.它运用了费马小定理和二次探测定理这两个筛质数效率极高的方法. 费马小定理判质数: \(a^{p-1}\equiv1\mod p\) 这个定理在p为质数的时候是成立的,所以我们可以如果要判断p是否是质数,可以\(rand\)几个a值然后照着这个式子来算,如果算出来不是1那说明p一定不是质数. 但在我们的自然数中,如果照着这个式子算出来的答案为1,也是有可能不是质

python求100以内素数之和 from math import sqrt # 使用isPrime函数 def isPrime(n): if n <= 1: return False for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1): if n % i == 0: return False return True count = 0 for i in range(101): if isPrime(i): count += i print(count) # 单行程序扫描素数