目录 关于\(LCP\)有如下两个公式: \(LCP~Lemma\) 的证明: \(LCP~Theorem\) 的证明: 关于\(LCP\)有如下两个公式: \(LCP~Lemma:\) 对任意 \(1\le i<j<k\le n\) ,存在 \(LCP(i,k)=min\{LCP(i,j),LCP(j,k)\}\) 成立. \(LCP~Theorem:\) 对任意 \(i<j\),存在 \(LCP(i,j)=^{~~~~~min}_{i+1 \le k \le j}\{LCP(k-1,

近日整理书稿,在整理至Strling公式处时,发现当时数学老师所讲的是形式比较精细的一种: Strling公式:\(n!=\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{\mathrm{e}}\right)^n\mathrm{e}^{\frac{\theta_n}{12n}},\)其中\(\theta_n\in\left(\dfrac{n}{n+1},1\right)\)是一个与\(n\)有关的变量. 这相当于是利用Euler-Maclaurin求和公式所能得到的最精确形式的Strli

------------恢复内容开始------------ 据新闻报道数学天才陶哲轩和3个物理学家研究出一个只用特征值就可以计算矩阵特征向量的公式, 我感觉很有趣, 这应该能够应用在很多领域中, 所以仔细研究了一波.研究公式耗费了我大半天, 我把所有的equation都推导了一遍, 也给出了一些我的看法, 现在把它们总结出来, 方便后人参考. 我给出了Cauchy-Binet公式(原文引理1)的更广义形式及其怎么过程, 对该公式取特殊条件即可证明引理2.(该引理就是全文的主要结论). 不过相比

这是我很早以前在高中时发现的一个通用计算K次方和数列公式的方法,很特别的地方是用了微积分中的积分方法.目前我还没有发现有谁提出和我一样的方法,如果哪位读者有相关发现,麻烦告知我. 大家很多人都知道高斯小时候的故事.故事说的是大约在十岁时,老师在算数课上出了一道难题:「把 1到 100的整数写下来,然后把它们加起来!」高斯的计算方法是:1+100＝101,2+99＝101,3+98＝101,……,49+52＝101,50+51＝101,一共有50对和为 101的数目,所以答案是 50×101＝50

simpson公式是用于积分求解的比较简单的方法(有模板都简单…… 下面是simpson公式(很明显 这个公式的证明我并不会…… (盗图…… 因为一段函数基本不可能很规则 所以我们要用自适应积分的方法 找了一道很水的积分题试试模板…… 关于simpson要*15 网上有很具体的证明过程…… (细节移步至:http://www2.math.umd.edu/~mariakc/teaching/adaptive.pdf #include<cstdio> #include<iostream>

继上一篇:次世代基于物理渲染的反射模型,本篇是Tri-Ace 在cedec2014上最近发布的, 主要内容如名称所示,解释了他们在实现基于物理渲染时,对shader的渲染公式所做的近似工作.     因为本身就是会议上的PPT,还是必须配合演讲看效果才好,所以如果有错误或不理解的地方,还希望留言或联系我 另外3A在官网上说会提供英文版,那家公司或个人希望可以分享下吧.   大致做下简介,如果有兴趣的可以下载看看   在本篇ppt中,3A先是花了一些篇幅介绍了渲染公式积分所引发的问题,随后是介绍本

上期(RSA简介及基础数论知识)为大家介绍了:互质.欧拉函数.欧拉定理.模反元素 这四个数论的知识点,而这四个知识点是理解RSA加密算法的基石,忘了的同学可以快速的回顾一遍. 一.目前常见加密算法简介 二.RSA算法介绍及数论知识介绍 三.RSA加解密过程及公式论证 三.RSA加解密过程及公式论证 今天的内容主要分为三个部分: rsa密钥生成过程: 讲解如何生成公钥和私钥 rsa加解密演示: 演示加密解密的过程 rsa公式论证:解密公式的证明 1.rsa密钥生成过程 大家都知道rsa加密算法是一

狄利克雷卷积简介 卷积这名字听起来挺学究的,今天学了之后发现其实挺朴实hhh. 卷积: "(n)"表示到n的一个范围. 设\(f,g\)是两个数论函数(也就是说,以自然数集为定义域的复数值函数),则卷积运算\(f\ast g\)定义为 \[(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)}\] 另一种写法就是: \[(f\ast g)(n) = \sum_{d\mid n}{f(d)g(\frac{n}{d})}\] 这里给一段数论函数的定义: 数论函数亦称算术函

[关于 A^x = A^(x % Phi(C) + Phi(C)) (mod C) 的若干证明][指数循环节] 原文地址:http://hi.baidu.com/aekdycoin/item/e493adc9a7c0870bad092fd9 曾经看过如下一个公式: 以上的公式如果第一次见到,难免有不少疑惑: 为什么可以这么写?限制条件为什么是x >= Phi(C),这个公式为什么正确? 今天突发奇想,在纸上YY以后得到了以下证明(个人证明,如果有问题欢迎提出) 定理 1: 对于一个数对(A,C)

老久没更了,冬令营也延期了(延期后岂不是志愿者得上学了?) 最近把之前欠了好久的债,诸如FFT和Matrix-Tree等的搞清楚了(啊我承认之前只会用,没有理解证明--),FFT老多人写,而MatrixTree没人证我就写一下吧-- Matrix Tree结论 Matrix Tree的结论网上可多,大概一条主要的就是,图中生成树的数量等于 \(V-E\) 的任一余子式,其中: \(V\) 为对角阵,第 \(i\) 个元素为点 \(i\) 的度数 \(E\) 为对称阵,对角线为零且 \(E_{i,

古典统计学问题一开始起源于赌博,让我们看这样一道有关赌博的问题. Q:A.B两人进行n局赌博,A胜的概率是p,现在设置随机变量X表示A赢的局数,当X>np,A给赌场X-np元,否则B给赌场np-X元,那么求解赌场挣钱的期望值? 这个问题中明显有二项分布(伯努利分布)的身影,但是我们面临的困境是,这里是基于二项分布的一个求解随机变量X落在某个范围的概率,如果我们利用二项分布逐项乘开,会得到一个异常繁琐的式子,也是极其不利于计算的. 为了解决这个问题,数学家想到了一个方法:众所周知在连续型随机变量中

题意 求 \[\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} [\mathrm{lcm} (i,j) > n] \pmod {10^9 + 7}\] . $ n \le 10^{10}$ . 题解 这是我们考试的一道题 ... 考试的时候以为能找出规律 , 后来发现还是一道数论题 qwq 而且部分分很不良心啊 , 只给了 \(O(n)\) 多的一点分 , 我 \(O(n \ln n)\) 根本没活路 .. 还是直接开始推吧 ~ \[ \begin{alig

(PS:本文会不断更新) $\newcommand\R{\operatorname{Res}}$ 如何计算$\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$? 这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利(Pietro Mengoli)提出的,而大数学家欧拉于1735年第一次解决了这个问题.他得出著名的结果:\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\] 解决这个问题的方法

大米饼正式退役了,OI给我带来很多东西 我会的数学知识基本都在下面了 博客园的评论区问题如果我看到了应该是会尽力回答的．．． 这也是我作为一个OIer最后一次讲课的讲稿 20190731 多项式乘法 FFT 基本概念 1.多项式的两种表达(拉格朗日插值法) 多项式:\(A(x) = \sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\),最高项次数为\(n-1\),次数界为\(n\) \((a_0,\cdots,a_{n-1})\)为多项式的系数表达, \((x_0,y_0),\cdots,(x_{n

→_→ OI 生涯晚期才开始刷板子题的咱 其实这题就是道公式题,搞过多项式全家桶的同学贴贴板子照着公式码两下都能过... 至于公式的证明嘛...总之贴上公式: \[Arcsin(F)=\int{F'\over \sqrt{1-F^2}}\] \[Arctan(F)=\int{F'\over 1+F^2}\] 然后可以康出这里就是一个要用 Sqrt. Inv.Inter.Direv 的 普通 多项式题 Code //by Judge #include<bits/stdc++.h> #define

问:是什么使您以数学为职业的? 答:我记得大概是从七.八岁时起喜欢数学的.在中学里, 我常做一些高年级的题目.那时,我寄宿于Nimes,与比我大的孩子住在一起,他们常常欺侮我,为了平抚他们,我就经常帮他们做数学作业.这是一种最好的训练. 我母亲是药剂师(父亲也是),并且喜欢数学.在她还是Montpellier大学的药剂学学生时,只是出于兴趣,选修了一年级的微积分课,且通过了考试.她精心保存了当年的微积分课本(如我没记错的话,是Fabry和Vogt写的 ).在我十四.十五岁时常翻看它们并学习其中的

巴塞尔问题(Basel problem)的多种解法——怎么计算\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots112+122+132+⋯ ? (PS:本文会不断更新) \newcommand\R{\operatorname{Res}} 如何计算\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdotsζ(2)=112+122+132+⋯? 这个问题是在1644年由意大利数学家蒙哥利(Pietr

复杂度 描述 for(i=1;i<=n;i++) for(j=i+1;j<=n;j++) for(k=j+1;k<=n;k++) operation; 你知道 operation 共执行了多少次吗: 输入 输入 m 和n 表示m为for循环的层数,n为for中的n.(n,m<=2000),输入以n==0和m==0结束 输出 输出operation执行的次数(输入结果mod 1009) 样例输入 2 3 1 3 2 4 0 0 样例输出 3 3 6 仔细观察就会发现,这里面的 i,

Description 给定一个nxm的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个. 下图为4x4的网格上的一个三角形. 注意三角形的三点不能共线. Input 输入一行,包含两个空格分隔的正整数m和n. Output 输出一个正整数,为所求三角形数量. HINT 数据范围$1\leqslant m,n \leqslant 1000$ 这道题一眼看去有一个非常显然的想法,那就是先用组合数算出任选三点出来的方案数,最后再减去三点共线的情况即可.那么关键就在于如何求三点共线的数目. 首先,我们要用

决策树笔记:使用ID3算法 决策树笔记:使用ID3算法 机器学习 先说一个偶然的想法:同样的一堆节点构成的二叉树,平衡树和非平衡树的区别,可以认为是"是否按照重要度逐渐降低"的顺序来分叉的. 其实这个也不一定局限于平衡树的解释.huffman编码就是这么干的:出现频率最高的编码一定是与root直接相连的,是层数最浅的. 什么是决策树 简单讲就是一棵多叉树,每个节点表示一个决策,它的不同分支表示依据决策结果划分的子类:子树要么仍然是决策数,要么是叶节点.叶节点表示原有label或某一个维