Tutte theorem 图 \(G=(V,E)\) 有完美匹配当且仅当满足 \(\forall U\subseteq V,o(G-U)\le|U|,o(X)\) 表示 X 子图的奇连通块数. Tutte–Berge formula 图 \(G=(V,E)\) 的最大匹配数为 \(\frac12\min\limits_{U\subseteq V}\{|U|-o(V-U)+|V|\}\) Tutte 定理证明 必要性 如果 G 有完美匹配,那么每个奇连通块至少有一个点需要与 U 中的点匹配,故得

[吐槽] 嗯好吧这个东西吧..其实是一开始做一道最小点覆盖的题的时候学到的奇妙深刻的东西 然后发现写了很长 然后就觉得不拎出来对不起自己呀哈哈哈哈 咳咳好的进入正题 [正题] 在这里码一下最小点覆盖的相关知识 http://www.matrix67.com/blog/archives/116 (二分图最大匹配的König定理及其证明) (所以说其实我也很想知道为什么那个o上面有两个点啊哈哈哈哈) 嗯还是把自己对于上面那篇东西的理解写一下吧整理整理qwq König定理 一个二分图中最大的匹配数=

The Perfect Stall Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 23911   Accepted: 10640 Description Farmer John completed his new barn just last week, complete with all the latest milking technology. Unfortunately, due to engineering p

描述 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004 共n个卡片,染成r,b,g三种颜色,每种颜色的个数有规定.给出一些置换,可以由置换得到的染色方案视为等价的,求等价类计数. 分析 给出置换求等价类计数,用Burnside引理:等价类计数=(每一个置换不动点的和)/置换数.(不知道的建议去看白书) 其中不动点是指一个染色方案经过置换以后染色与之前完全相同. 1.求不动点个数. 不动点的话同一个循环内的每一个点的颜色必须相同(否则不同颜色

The Perfect Stall Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 23911   Accepted: 10640 Description Farmer John completed his new barn just last week, complete with all the latest milking technology. Unfortunately, due to engineering p

(本篇无证明,想要证明的去找度娘)o(*≧▽≦)ツ ----------数论四大定理--------- 数论四大定理: 1.威尔逊定理 2.欧拉定理 3.孙子定理(中国剩余定理) 4.费马小定理 (提示:以后出现(mod p)就表示这个公式是在求余p的条件下成立) 1.威尔逊定理:(PS:威尔逊是个厉害人) 当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 或者这么写( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p ) 或者说 若p为质数,则p能被(p-1)!+1整除 在初等数

参考资料: 1.matrix67 <经典证明:Prüfer编码与Cayley公式> 2.百度百科 3.Forget_forever prufer序列总结 4.维基百科 5.dirge的学习笔记 一.Cayley定理 我们先讲讲Cayley公式/定理?. 凯莱定理,是所有群 G 同构于在 G 上的对称群的子群. 什么鬼?! 其实定理还有另一种表述:过n个有标志顶点的树的数目等于n^(n-2),也即完全图K_n有n^(n-2)棵生成树. 此定理说明用n-1条边将n个一致的顶点连接起来的连通图的个数

额,最近看到了一个十分有趣的定理--Sperner定理.其实这个定理在OI中没什么用处,因此我都没把这篇文章放到我的OI标签里(不知道在MO中是否有用?)但是觉得它很有趣于是就过来写一下. 由于博主太弱不会用LaTeX写取整符号,本文中用\([x]\)表示\(x\)下取整. 问题: 有一个\(n\)元集合\(S_n\),从中选出若干个子集,满足没有任何两个子集之间存在包含关系,问最多能选出多少个? 首先结论是很好猜的.如果把所有\(k\)元子集全部选出,那么显然不会包含,一共能选\(n\choo

ACM数论之旅5---数论四大定理(你怕不怕(☆ﾟ∀ﾟ)老实告诉我)   (本篇无证明,想要证明的去找度娘)o(*≧▽≦)ツ ----------数论四大定理--------- 数论四大定理: 1.威尔逊定理 2.欧拉定理 3.孙子定理(中国剩余定理) 4.费马小定理 (提示:以后出现(mod p)就表示这个公式是在求余p的条件下成立) 1.威尔逊定理:(PS:威尔逊是个厉害人) 当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 或者这么写( p -1 )! ≡ p-1 (

前言 博主很笨 ,如有纰漏,欢迎在评论区指出讨论. 二分图的最大匹配使用 \(Dinic\) 算法进行实现,时间复杂度为 \(O(n\sqrt{e})\),其中, \(n\)为二分图中左部点的数量, \(e\) 为二分图中的边数.若是匈牙利算法,时间复杂度为 \(O(nm)\) , \(m\) 为二分图中右部点的数量,不建议使用. 文章中的例题链接. König定理 定理内容:二分图最小点覆盖的点的数量等于二分图最大匹配的边的数量. 构造方法 \(+\) 简单证明: 首先求出二分图中的最大匹配,

问题描述 mhy12345学习了二分图匹配,二分图是一种特殊的图,其中的点可以分到两个集合中,使得相同的集合中的点两两没有连边.     图的“匹配”是指这个图的一个边集,里面的边两两不存在公共端点. 匹配的大小是指该匹配有多少条边.     二分图匹配我们可以通过匈牙利算法得以在O(VE)时间复杂度内解决. mhy12345觉得单纯的二分图匹配算法毫无难度,因此提出新的问题: 现在给你一个N个点N-1条边的连通图,希望你能够求出这个图的最大匹配以及最大匹配的数量.     两个匹配不同当且仅当

1 一致收敛很重要, 但可惜的是很多时候不一致收敛. 比如 $$\bex f_n(x)=x^n\to f(x)=\sedd{\ba{ll} 0,&x\in [0,1)\\ 1,&x=1 \ea},\quad x\in [0,1]; \eex$$ 但 $f_n$ 在 $[0,1-\delta]$ 上一致收敛! 本节的内容就是把这种现象普适化. 2 (Egrov 定理) 设 (1) $mE<\infty$; (2) $\ae$ 有限的可测函数列 $\sed{f_n}$ $\ae$ 收敛于

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1214 题意很好懂,同余定理的运用,要是A数被B数整除,那么A%B等于0.而A很大,那我就把A的每一位拆开,比如A是2341,那么2341=2000+300+40+1,然后你懂的... #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; ]; int mai

题目大意:长度为n的项链,要染m种颜色,可以通过旋转或翻转到达的状态视为同一种,问有多少种染色方案. 学了一波polya定理,发现很好理解啊,其实就是burnside定理的扩展. burnside定理告诉我们不同染色方案数是每种置换的不变元素个数除以置换总数,而polya定理就是在这个基础上用公式计算出置换的不变元素个数.而且polya定理非常好理解,我们要让元素不变,所以对于每个循环节我们要染一样的颜色,有m种颜色,c(pk)个循环节,于是每种置换的不变元素个数就是m^c(pk). 对于这道题

传送门 Description 有一个取数的游戏.初始时,给出一个环,环上的每条边上都有一个非负整数.这些整数中至少有一个0.然后,将一枚硬币放在环上的一个节点上.两个玩家就是以这个放硬币的节点为起点开始这个游戏,两人轮流取数,取数的规则如下: (1)选择硬币左边或者右边的一条边,并且边上的数非0: (2)将这条边上的数减至任意一个非负整数(至少要有所减小): (3)将硬币移至边的另一端. 如果轮到一个玩家走,这时硬币左右两边的边上的数值都是0,那么这个玩家就输了. 如下图,描述的是Alice和

1433 0和5 题目来源: CodeForces 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 10 难度:2级算法题  收藏  关注 小K手中有n张牌,每张牌上有一个一位数的数,这个字数不是0就是5.小K从这些牌在抽出任意张(不能抽0张),排成一行这样就组成了一个数.使得这个数尽可能大,而且可以被90整除. 注意: 1.这个数没有前导0, 2.小K不需要使用所有的牌. Input 每个测试数据输入共2行. 第一行给出一个n,表示n张牌.(1<=n<=1000) 第二行给出n个

题目: In some countries building highways takes a lot of time... Maybe that's because there are many possiblities to construct a network of highways and engineers can't make up their minds which one to choose. Suppose we have a list of cities that can

题目 mhy12345学习了二分图匹配,二分图是一种特殊的图,其中的点可以分到两个集合中,使得相同的集合中的点两两没有连边. 图的"匹配"是指这个图的一个边集,里面的边两两不存在公共端点. 匹配的大小是指该匹配有多少条边. 二分图匹配我们可以通过匈牙利算法得以在O(VE)时间复杂度内解决. mhy12345觉得单纯的二分图匹配算法毫无难度,因此提出新的问题: 现在给你一个N个点N-1条边的连通图,希望你能够求出这个图的最大匹配以及最大匹配的数量. 两个匹配不同当且仅当存在一条边在第一个

题目 给定四个包含整数的数组列表 A , B , C , D ,计算有多少个元组 (i, j, k, l) ,使得 A[i] + B[j] + C[k] + D[l] = 0. 分析 关键是如何想到用map,怎么用map?本题目和三数之和.四数之和题目有本质的区别,本题是经典哈希, 而那两道题目是双指针加去重.因为本题实际就是看有多少种满足条件的数组索引组合,和两数之和返回 索引拿到题目用到的知识一样,用map.怎么用?也就是key-value应该保存什么?这就是本题目的重点. key存放A和B

题意: n个数p1,p2....pn     两个数a,b 把它们分成A,B两个集合. 若x属于A,a-x一定属于A. 若x属于B,b-x一定属于B. 问是否可能将这n个数分成两个集合.若可以,输出每个数是属于A集合还是B集合(0:集合A,1:集合B) 思路: 这题我用二分图最大匹配做的.他们用并查集,额.. 一开始就没想过并查集哩,回头再看看并查集的思路吧. 若x属于A,则a-x属于A.若a-x属于A,则x属于A.集合B同理. 两两配对,若x和y可以装进一个集合,则将它们之间连条线.然后二分图